矩阵的秩与行列式的关系ppt课件.ppt

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1、第三章矩阵的秩和线性方程组的相容性定理第一讲矩阵的秩；初等矩阵第二讲矩阵的秩的求法和矩阵的标准形第三讲线性方程组的相容性定理1第一讲矩阵的秩；初等矩阵一、引例二、矩阵的秩三、初等方阵2对齐次线性方程组由于其系数矩阵是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:(3.1)一.引例3应用高斯消元法删去多余方程，得（3.2)(3.2)称为(3.1)的保留方程组。把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是：4(3.3)得到保留方程组对一般齐次线性方程组5如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？如何求(3.3)的保留方程组？问题：6定义3.1矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A

2、)二、矩阵的秩例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2,这是由于：7例3.2求下列矩阵的秩解由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)<3,但因A有一个二阶子方阵的行列式所以R(A)=28关于矩阵秩的结论:定理3.1若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r9回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．三、初等方阵矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.10定义3：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.11

3、(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。12(2)以数乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。13(3)以数乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩阵。14初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。15初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵例1：计算1617定理：证明：具体验证即可18另两种情形同理可证19一般记法：20例2：(1)设初等矩阵21解：2223解：24矩阵的秩初等方阵小结：定理3.5方阵可逆的充要条件是它可以表示成有限个初等方阵的乘积。定理3.6维矩阵A~B的充要条件是存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B25第二讲矩阵的秩的求法和矩阵的标准形一、等价矩阵具有相同的秩二、矩

4、阵秩的求法.三、矩阵秩的性质四、矩阵的秩与行列式的关系26一、等价矩阵具有相同的秩定理3.7若A~B，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。27二、矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵：例如：特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．28行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。例如：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。29例1：对矩阵作行初等变换,使成为行阶梯矩阵

5、.解:3031解：看行秩例2：求上三角矩阵的秩32看的线性相关性：线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，而与都线性无关，所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数33结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地变换列的顺序，不妨设34其中显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形

6、矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:求A的秩。35363738由阶梯形矩阵有三个非零行可知39三、矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同。(2)任意矩阵有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。可逆，有(4)当AB=0时，有（证明在习题课讲）40四、矩阵的秩与行列式的关系定理:n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）A的n个行（列）向量线性无关A的n个行（列）向量线性相关定义3：矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩阵A的k阶子式。41矩阵的秩的另一种定义：定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r＋1阶子

7、式（如果有的话）都为零，则r(A)=r.阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的最高阶数。零矩阵的秩为零。注：例：问题：1)可研究它的几阶子式?2)各阶子式分别有几个?42例6:解：43例7：解：44第三讲线性方程组的相容性定理一、高斯消元法二、齐次线性方程组三、非齐次线性方程组45一.高斯消元法设一般线性方程组为则称矩阵为方程组(1)的系数矩阵。46称矩阵为方程组(1)的增广矩阵。称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。当时,