矩阵的初等变换与与线性方程组ppt课件.ppt

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时间:2020-10-04

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1、第三章矩阵的初等变换与用消元法解线性方程组,§1矩阵的初等变换1.互换两个方程;2.以非零数乘某个方程;3.一个方程的倍数加到另一个方程.例1解线性方程组①←→②,×③对方程组用到三种变换:线性方程组②−2①,×②,③+5②③−2①定义1下述三种变换称为矩阵的初等行变换:1.对调两行;2.以非零数乘某行的所有元素;3.把矩阵某行的所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去.初等列变换.初等变换.如果矩阵A经初等变换得到矩阵B,下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.那么称矩阵A与B

2、等价.记为A~B.B1是矩阵A经初等行变换得到的阶梯形矩阵.例2用初等行变换把矩阵~~~解A变成行阶梯形矩阵.称B2为行最简形矩阵.~再作初等行变换B1又可以变为任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.对B2再作初等列变换又可得任何m×n矩阵A都可经过初等变换化为形如的矩阵.称矩阵F为A的标准形.例3用初等行变换将矩阵变成行最简形矩阵.解A~~~~§2矩阵的秩定义2在m×n矩阵A中任取k个行与k个列,定义3如果矩阵A中有一个k阶子式D≠0,零矩阵的秩规定为0.数k称解在A中有一个2阶子式且A的所有的所以R(

3、A)=2.3阶子式都等于零,称为矩阵A的一个位于这且所有的k+1则称D为A的一个最高阶非零子式.阶子式都等于0,为矩阵A的秩,矩阵A的秩记成R(A).些行与列交叉处的元素而得的k阶行列式,k阶子式.据定义3可知,解在A中有一个3阶子式且A中所有的4阶子式都等零,所以R(A)=3.行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.Dr相应的一个r阶子式Mr,因而若把矩阵A的第i行乘数k≠0得矩阵B,且Mr=Dr,或Mr=−Dr,那么B中存在一个且Mr=Dr或Mr=kDr.与Dr相应的一个r阶子式Mr,设R(A)=r,且A的某个r阶子式Dr≠

4、0.当A对调第i行,第j行得矩阵B时.在矩阵B中存在一个与定理1若A~B,则R(A)=R(B).证明先证明,如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,那么R(A)≤R(B).我们也可以证明,如果把矩阵A的第j行的k倍加到第i行得到矩阵B,那么矩阵B中必有一个r阶子式Mr≠0.因而因而这样,我们就证明了,如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,则有R(B)=R(A).由矩阵经一次初等行变换秩不变,类似的可以证明,经有限次初等列变换总之,若A~B,则R(A)=R(B).则R(A)≤R(B)成立.所以也应有R(B)≤R(A).若矩阵A经一

5、次初等行变换得矩B,那么矩阵B也可以这样,我们就证明了,若矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,变换矩阵的秩也不变.经一次初等行变换得矩阵A,即可知经有限次初等行矩阵的秩也不变.例3求下列矩阵的秩求矩阵A的秩1.根据矩阵秩的定义.2.根据定理1.用初等变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数(定义3).解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r2~r2-2r1r2←→r3~r3+4r2因此,R(A)=3.矩阵A的秩=此行阶梯形矩阵的秩(据定理1).例4求下述矩阵的秩解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩

6、阵.Ar1←→r3r2-2r1r3-2r1~~因此,R(A)=2.线性方程组称为n元齐次线性方程组.A称为方程组的系数矩阵.于是,这个齐次方程组可以记为§3线性方程组的解记定理2n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要证必要性设方程组Ax=0有非零解.假设R(A)=n,根据Cramer法则,D所对应的n个方程构成的齐次线性方程组从而原方程组Ax=0也只有零解,矛盾.充分性设R(A)=r<n,那么A1只含r个非零行,用反证法来证明条件是系数矩阵A的秩R(A)

7、形矩阵A1.那么在A中应有一个n阶子式

8、D

9、≠0.只有零解,不妨设为于是齐次线性方程组Ax=0与这个方程组有n-r>0个自由未知量,也有非零解.同解.把它改写成因此有非零解.故Ax=0例13元齐次线性方程组是否有非零解?解由r2-r1r3-3r1r4-r1r3-r2r4-2r2因为R(A)=2<3所以此齐次线性方程组有非可知R(A)=2.~~零解.解用初等行变换化系数矩阵可知,有非零解.R(A)=2<3.性方程组有非零解.~~n元非齐次线性方程组A称为非齐次线性方程组的系数矩阵,B称为增广矩阵.记于是,Ax=b这个非齐次方

10、程组可以记为其中定理3n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条证明必要性则B可化成行阶梯形矩阵件是R(A)=R(B),假设R(A)

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