电磁场与电磁波 第四章ppt课件.ppt

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1、物理问题的数学表述：物理规律----微分方程；（数学模型，泛定方程）具体问题----初始条件和边界条件；（定解条件）定解问题：微分方程+初始条件&边界条件静电场电位的定解问题与时间无关，只考虑边值条件边值问题:利用边界上（导体表面、介质分界面等）的电位、电荷，或者位函数的法向导数等，根据给定区域的电荷分布，通过泊松（Poisson）方程或者拉普拉斯(Laplace)方程求解有界区域中的电位或者场分布。第四章静态场边值问题解法1电位边值问题的分类边值问题解的特点静电场电位的唯一性定理泛定方程：24-1电位边

2、值问题的分类：第一类边值问题：给定边界上的值，--狄里赫利问题。第二类边值问题：给定边界上电位的法线导数值，--聂曼问题。第三类边值问题：在部分区域给定边值，在另一部分区域给定边界上的值法线导数值。—混合问题。导体1导体2导体33自然边界条件：周期边界条件：衔接边界条件：其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件；4边值问题解的特点：求解过程：待解方程:Poisson方程/Laplace方程解泛定方程的通解；用边界条件求特解；讨论解的适定性（存在性、唯一性和稳定性）。格林定理：格林(G.Green

3、)第一恒等式54-2静电场电位的唯一性定理：当电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类边界条件之一时，电位的解是唯一的。证：用反证法，假设在场域中满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类边界条件之一的电位有两个解:,令：由：令：则：6总有：故：假设条件：指同一点的值有两个，而边界值确定(第一类）：7比较：矢量场的唯一性定理定理：在空间某区域V中的矢量场，当其在该区域中的散度、旋度以及边界上矢量场的切线分量或法线分量给定后，该区域中的矢量场被唯一的确定。给出了唯一确定有界区域矢量场的条件。当区域

4、内的源相同，且边界上的切线或法线分量相同时，两矢量场相同。区域外源的影响已在边界条件中体现。84-3直接积分求解一维场简单、对称问题：一维拉普拉斯方程求解偏微分方程；寻找边界条件，求出场的解。不同的区域，一般对应不同的解，寻找边界区域的连接边界条件。9例4.1图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域(灰色）。（阴影区域）场的边值问题缆心为正方形的同轴

5、电缆横截面10例4.2同轴圆柱的内外半径分别为a,b，沿着z方向伸长，外导体接地，内导体电位为U0,求同轴线的电位及电场分布。解：轴对称，电位与r有关。柱坐标系下的laplace方程：边界条件：11例4.3同轴圆柱的内外半径分别为a,b，其间填充两种不同介质1，2，外导体接地，内导体电位为U0,求同轴线的电位分布。12边界条件：1213例4.5：真空中电荷分布为：，求电场。解：x14边界条件：选一电位参考点：C3=c5=0;12315分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积，每个函数仅与一

6、个坐标变量有关。把三维偏微分方程变为三个常微分方程。4-4分离变量法1：直角坐标的分离变量(拉普拉斯方程)分离变量法的求解拉普拉斯方程步骤2：球坐标的分离变量(拉普拉斯方程)3：柱坐标的分离变量(拉普拉斯方程)使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。如平面、球面、柱面等。16若位函数的拉普拉斯方程为将上述方程解写为4.4.1直角坐标中的分离变量法——二维问题然后用XYZ除上式，得:方程两边对x求一次微分,可得：17当α2=0时，则当α2<0时，令α=jkx(kx为正实数)，则或求解方程：18当α2>0时

7、，令α=kx，则或19二维拉普拉斯方程为将上述方程解写为20（1）（2）21例4.6两个无限大接地导体平面，间距d，一端接电位为V的导体面，求中间区域电位。解：该问题的边值问题为：边值条件：22用分离变量法：23二阶常系数常微分方程通解：电位方程通解：24用边界条件：上述所有m均表示电位的解，其线性组合亦为电位的解：m不能取零，否则电位为零25—常数V的正弦函数展开其展开系数为：26分离变量法的求解拉普拉斯方程步骤：选择坐标系，写出拉斯方程的表达式；分离变量；求解常微分方程的本征值问题；利用边值条件，确定

8、积分常数。直角坐标中解的形式的选择27例4.7设一横截面为矩形的长金属盒,四条棱线处均有无穷小缝隙相互绝缘,边界电位分布如图所示。试求金属盒内的电位分布函数。解（1）满足二维拉普拉斯方程:(2)边界条件:②φ(a,y)=U(y)③φ(x,0)=0④φ(x,b)=0①28(3)根据边值写出电位φ的表示式。为满足y=0及b的边值,y向必须选择正弦或余弦形式,kx为实数,则ky为虚数,所以令｜ky｜=kx=k(4)由边界条件确定常数