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1、第二章378700000解析函数第二章解析函数1解析函数2函数导数的充要条件3初等解析函数南开大学魏雅薇解析函数1复变函数的导数2解析函数AB南开大学魏雅薇复变函数的导数导数的定义定义设是定义在区域D上的存在，则称在点可导,并把这个极限值称为在点的导数，记做复变函数,z0是区域D内的定点.若极限南开大学魏雅薇定义中的极限式可以写为即当在点可导时,注意的方式是任意的.南开大学魏雅薇此时，对D内任意一点z,有也可用等表示在z点的导数.若在区域D内每一点都可导,则称在区域D内可导.南开大学魏雅薇则例 设在复平面内处处可导，且解 因为所以南开大学魏雅薇例 证明在复面
2、内处处连续，但处处不可导.证明 对复平面内任意点z,有故这说明在复面内处处连续.南开大学魏雅薇但是,设沿着平行于x轴的方向趋向于0,即于是南开大学魏雅薇所以的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即南开大学魏雅薇例解南开大学魏雅薇所以南开大学魏雅薇可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.事实上,由f(z)在z0点可导,必有).()()()(000zfzzfzzfz¢-D-D+=Dr令南开大学魏雅薇,)()(lim000zfzzfz=D+®D所以再由即在处连续.反之,由前例知,不可导.但
3、是二元实函数连续,于是根据连续的充要条件知,函数南开大学魏雅薇连续.求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.南开大学魏雅薇其中南开大学魏雅薇解析函数定义设在区域D有定义.(1)设,若存在的一个邻域，使得在此邻域内处处可导,则称在处解析,也称是的解析点.(2)若在区域D内每一点都解析，则称在区域D内解析,或者称是区域D内的解析函数.南开大学魏雅薇(3)设G是一个区域
4、，若闭区域且在G内解析，则称在闭区域上解析.函数在处解析和在处可导意义不同，前者指的是在的某一邻域内可导,但后者只要求在处可导.函数在处解析和在的某一个邻域内解析意义相同.南开大学魏雅薇复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.南开大学魏雅薇若函数f(z)在处不解析，但在的任一邻域内总有f(z)的解析点则称是f(z)的奇点.若是f(z)的奇点,但在的某邻域内,除外,没有其他的奇点，则称是函数f(z)的孤立奇点.南开大学魏雅薇根据求导法则，很容易得到下面的结论.设函数在区域D内解析,则也在D内解析.当时,是的
5、解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.南开大学魏雅薇例解南开大学魏雅薇例解南开大学魏雅薇例 证明在处可导,但处处不解析.证明 根据导数的定义,因此在处可导，且当时,由得南开大学魏雅薇故虽然但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别以1和-1为极限，因此不存在.又因为所以不存在，即在时不可导,从而在复平面内处处不解析.南开大学魏雅薇在此强调:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多．即函数在z0点解析函数在一点处解析与
6、在一点处可导不等价函数在z0点可导函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价即函数在闭区域上解析函数在闭区域上可导说明南开大学魏雅薇通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！寻求研究解析性的更好的方法任务！！！南开大学魏雅薇函数可导的充要条件1函数可微的概念2函数可导的充要条件南开大学魏雅薇复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？函数可微的概念定义 设函数在的某邻域内有定义,若存在复常数A,使得其中则称在点可微.南开大学魏雅薇引理 复变函
7、数在点可导的充分必要条件是在点可微，且证明 若存在，设则令则且南开大学魏雅薇反之，如果则令则存在.这个引理表明,函数在可导与在可微等价.南开大学魏雅薇与一元实函数类似,记称之为在处的微分.如果函数在区域D内处处可微,则称在区域D内可微,并记为南开大学魏雅薇函数可导的充要条件定理 复变函数在点处可微(即可导)的充分必要条件是二元函数在处都可微，并且满足Cauchy-Riemann方程此时南开大学魏雅薇证明 必要性.若(a,b是实常数).由f(z)可微,其中南开大学魏雅薇存在，设显然,当时，则于是有由两个复数相等的条件可得设南开大学魏雅薇因此，在处可微，且充分性
8、.若在处可微,且满足Cauchy-Riemann方程
