考研数学拓展班第1讲函数极限ppt课件.ppt

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1、第一讲函数、极限§1函数1°函数的定义因变量自变量数集D叫作这个函数的定义域,函数值全体组成的数集称为函数的值域,记作定的数值和它对应，则称y是x的函数,设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，如果对于每个数,变量y按照一定法则总有确记作2°函数的一些几何特性(1)有界函数:如果存在M>0使得则称函数f(x)在D上有界,否则称函数f(x)在D上无界M-MyxOy=f(x)X注：1有界性和函数定义区间有关2函数可单边有界，即可以有上界或下界(2)单调函数:若对任意的只要,有(或)则称f(x)在D上单调增加(单调减少)若对任意的只要,有(或)则称f(x)在D上严格单调增加(严格单调减少)注：函数y

2、=c既是单调增加函数，也是单调减少函数。但它不是严格单调函数。(3)函数的奇偶性:若对任一总有设函数f(x)在区间上有定义,则称f(x)在上是偶函数(奇函数)注：定义区间一定是对称区间。(4)周期函数:设函数f(x)定义域为D,如果存在则称f(x)为以T为周期的周期函数,T称为f(x)的任意的总有,并且常数T>0,使对周期(这里是指最小正周期)注：1周期函数的定义域既无上界也无下界思考：是周期函数吗？答：不是.2并非任何一个周期函数都有最小正周期.答：常量函数每一个正数都是其周期.例1下列函数是不是周期函数周期函数和或积是否为周期函数，取决于两周期函数的周期是否有公倍数（即两周期之比是否为有理

3、数）解（1）的周期的周期是周期函数的周期，的周期（2）所以g(x)不是周期函数例2设f(x)与g(x)为奇函数或偶函数，试讨论复合函数f(g(x))的奇偶性解（1）如果g(x)为偶函数，即（2）如果g(x)为奇函数，即f(g(x))恒为偶函数1）若f(x)为偶函数f(g(x))为偶函数f(g(x))为奇函数2）若f(x)为奇函数3°反函数、复合函数（1）反函数设y=f(x)的定义域为D，值域为W.若对W中任意y，通过y=f(x)确定D中唯一的x值与其对应,得到一个新的函数，我们把这个新的函数称为y=f(x)的反函数，记作习惯上常将y=f(x)的反函数，记为注1y=f(x)与的图象关于y=

4、x对称2若y=f(x)在D上严格单调,则在f(D)上y=f(x)存在严格单调(具有相同单调性)的反函数。（2）复合函数设函数y=f(u),uU;u=g(x),xX,若g(X)∩UΦ,则称函数是由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数,变量u称为中间变量4°分段函数，初等函数，积分上限函数（1）分段函数在定义域的不同区域上用不同表达式表出的函数称为分段函数。（2）初等函数1)基本初等函数:常数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数2）初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算能用一个解析式子表示的函数.（3）变上限积分函数说明：用方程、极限、导数、无穷级

5、数也可表示函数（4）原函数若F(x)为连续函数f(x)的原函数，可以用变上限函数表示例3求函数的反函数解当x>0时，反函数当x<0时，反函数反函数§2极限1°极限的定义则称常数A为函数f(x)当时的极限，总有存在常数A,当时，记作设函数f(x)在点的某去心邻域内有定义。如果注：类似可以给出其他情形时极限的定义，包括数列的极限。当时,有当时,有当时,有右极限:左极限:极限存在的充要条件例4数列不收敛于a的充要条件是(A)对于任给的ε>0,满足的只有有限项(B)对于任给的ε>0,总有相应的项,(C)存在某个正数,除有限项外,都有(D)存在某个正数,有无限多项满足解选(D)2°极限的性质(1)

6、极限的唯一性若,则极限唯一。(2)极限的有界性若,则存在使f(x)在上有界(局部有界性)函数极限:数列极限:若,则是有界数列(整体有界性)(3)极限的局部保号性若当时,有（或f(x)<0)注:性质(3),(4)常用于证明题；但结论反过来不成立(4)极限的局部保序性若,且A0,当时,有f(x)

7、定准则(a)单调有界准则：(b)夹逼定理：单调有界数列必有极限.如果数列满足注：函数极限有类似的夹逼定理例9设,且求分析易知{xn}的单调性如何？≤0？关键：证1°有界性易知2°单调性得即例10求解设，则由及夹逼定理得原极限解即而所以例11求极限(8)重要极限1)2)例12已知,求常数a解例13若，问a为何值时，存在且极限值为多少？解为使极限存在即此时§3无穷小与无穷大1°无穷小与无穷大(1)无穷