裂项相消法讲义提高篇.doc

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1、1、利用裂项相消法求和应注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩几项，后面对称地也剩几项,且前面所剩项的符号与后边刚好相反，例如数列的求和。(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝2.裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的．归纳起来常见的命题角度有：(1)形如型。如＝－；(2)形如an＝型；(3)形如an＝＝型；(4)形如an＝型．(5)形如an＝＝型；(6

2、)＝＝－.角度1　形如an＝型;【例1】在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋

3、＋－）＝（1＋＋－－－）<<，∴存在正整数k的最小值为3.2．已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T2012；[解析]　(1)当n＝1时，a1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又Sn＝－an，所以an＝an－1，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，故an＝n.(2)由已知可得f(an)＝log3n＝－n，则bn＝－1－2－3－…－n＝－，故＝－2，又Tn＝－2＝－2，所以T2012＝－.变式

4、1.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.[解析]（1）设的公差为.因为所以解得或（舍），.故，.（2）由（1）可知，，所以.故变式2.(2013·江西高考)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)·(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)由an＝2n，bn＝，得bn＝＝.Tn＝＝＝.变式3.已

5、知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.[解析](1)证明　∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝(an>0)，∴a1＝1.当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)　由(1)可得an＝n，Sn＝，bn＝＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝

6、1－＝.变式4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝时，求证：数列的前n项和Tn＝.[解析](1)由已知得(n≥2)，得到an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．∴an＝(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log＝n.∴＝＝－.∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.变式5.已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数

7、列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．[解析](1)∵对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且{an}，{bn}都为正项数列，∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．可得a1＝b1b2＝3，a2＝b2b3＝6，又{bn}是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，解得b1＝，b2＝.∴bn＝(n＋1)．(2)由(1)可得an＝bnbn＋1＝，则＝＝2，∴Sn＝2＝1－，∴2Sn＝2－，又2－＝2－，∴2Sn－＝－＝.∴当n＝1,2时，2Sn<2－；当n≥3

8、时，2Sn>2－.角度2　形如an＝型【例2】已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为