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1、第十一章方差分析与 试验设计方差分析导论方差分析多重比较方法试验设计（完全随机化试验设计、随机化区组设计、双因素方差分析）方差分析导论之前已经讨论过对于双总体均值差异的假设检验，那么如果是三个或三个以上的总体均值差异比较的检验呢？先看一个现实例子：某公司有下属甲、乙、丙三家工厂生产主要产品。为了确定这些工厂中有多少员工了解全面质量管理，从每个工厂中抽取一个由6名员工组成的样本，对这些样本进行质量管理有关知识的考核。得到了下表所示的考试分数：员工代号工厂甲工厂乙工厂丙18571592757564382
2、7362476746957169756858267公司想知道：下属的三个工厂工人在质量管理知识掌握上是否有差异？因此相应的检验假设为：；Ha:u1,u2,u3不全相等该例题中，响应变量(responsevariables)为工人考分；因素(factor)为工厂；各工厂的名称所属为处理(Treatment)我们本章引入的方差分析方法就是用来检验：三个或三个以上总体均值的方法。如果拒绝了H0,则说明：三个或三个以上的总体均值不全相等；至少有两个总体均值不同。进行方差分析之前有几个假设：1.对于每个总体，
3、响应变量服从正态分布；2.对于所有总体，响应变量的方差相同；3.观测值是独立的。方差分析的原理：如果H0：u1=u2=u3为真，且满足以上假定时，对于三个样本均值都来自同一个抽样分布，那么此时该总体的均值估计(或称为)可以用三个样本均值的算术平均数来估计。此时的总体方差的估计可以由：此时可以由样本的组间方差估计得到；也可以通过样本的组内方差的平均值估计。在H0为真的情况下，二者的比值应接近于1。组间方差：组内估计：如果H0：u1=u2=u3为假，说明总体均值不全相等，他们来自不同的抽样分布。此时的样
4、本均值不接近。相应的，组间方差增大。此时的组间方差不适合估计且组间方差和组内方差的比值远大于1.由上例计算:可见，总体方差的组间估计远大于组内估计，比率为9.如前所述，当总体方差的组间估计与组内估计的比值较大时，可能导致拒绝原假设，那么多大的程度可以拒绝H0的原假设呢？方差分析的思想：比较总体方差的组间估计和组内估计：组间估计是以样本均值间的变动来估计总体方差组内估计是合并每个样本内的变动来估计总体方差比较总体方差的组内估计和组间估计在各总体均值无差异时，这两个估计应很接近若两个估计很接近，则不能否
5、定各总体均值无差异若两个估计不是很接近，则按照一定的原则否定各总体均值无差异的假定方差分析根据之前对方差分析原理的阐述，我们可以用判断样本方差比值的方法对k个总体均值进行检验。假设从k个总体或处理中选择一个样本容量为n的简单随机样本。我们有以下定义，其中，nT＝n1+n2+…+nk若每个样本的样本容量相等,则总样本平均值为:即总体均值恰好等于k个样本均值的算术平均数.定义总体方差的组间估计和组内估计的组间估计:MSTR称为处理均方(meansquareduetotreatments)其中,MSTR的
6、分子称为处理平方和SSTR(sumofsquaresduetotreatments)的组内估计:MSE称为组内均方(meansquareduetoerror)其中,MSE的分子称为组内平方和,(sumofsquareduetoerror)若H0为真,组间估计是总体方差的无偏估计;若H0为假,组间估计得到的则偏大.不论H0真或假,组内估计都是总体方差的无偏估计.组内估计反映每个处理内部的变动.定义方差分析的统计量F统计量的构造:两个chi方分布被各自自由度除以后的比值.在响应变量服从独立正态分布的假定
7、下,且H0为真时,我们可以推知,SSTR/,SSE/分别服从自由度为(K-1)和(nT-k)的chi方分布.根据F分布的构造,可知,统计量F=MSTR/MSE~F(k-1,nT-k)服从自由度为k-1和nT-k的F分布.由上例的数据计算可得,样本F统计量为F=258/28.67=9方差分析的拒绝规则:H0:u1=u2=…=uk;Ha:u1,u2,…,uk不全相等在显著水平α下的拒绝规则为:若F>F(α;k-1,nT-k),则拒绝H0的原假设,认为总体1,总体2,….总体k的均值不全相等.上例中的拒绝
8、域是,F>F(0,05,2,15)=3.68即当由样本信息计算得到的F统计量大于3.68时,拒绝初始假设H0.因为9>3.68,我们拒绝三个总体均值无差异的假设.αF=MSTR/MSEF(α;k-1,nT-k)方差分析表(ANOVA)方差来源平方和自由度均方(meansquare)F统计量组间(处理)SSTRK-1MSTRMSTR/MSE组内(误差)SSEnT-kMSE合计SSTnT-1方差分析就是将总得平方和及自由度分解为相应的来源:处理和误差.当各样本的容量相等时
