解不等式知识点、题型详解.doc

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1、不等式的解法1、一元一次不等式方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。【例1-1】（1）解：此时，因为的符号不知道，所以要分：=0，>0,<0这三种情况来讨论.由原不等式得>1,①当=0时，0>1.所以，此时不等式无解.②当>0时，>,③当<0时，<.【例1-2】已知不等式与不等式同解，解不等式。解：，∴的解为∴中∴解由题意∴代入所求：∴要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？基本步骤：①把二

2、次项系数化为正②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：二次函数、方程或或RRR【例2-1】解下列关于的不等式：(1)22-3-5>0；(2)32-4-10；(3)2-2+10；(4)2-2+1>0；(5)2-2+3>0；(6)2-2+30.解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方

3、的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为对此不等式对应的一元二次方程2-3-5=0因式分解得(2-5)(+1)=0.所以该方程的两根为：1=,或2=-1.又因为此不等式对应的一元二次函数=22-3-5的抛物线开口向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式22-3-5>0的范围：>，或<-1；（2）与上题解法类似.∵32-4-1=0的判别式D=42-4×3×(-1)=28>0,∴一元二次方程32-4-1=0有两个不同的实数根为1=,或2=.∴此不等式中的取值范围是；（3

4、）∵2-2+1=0的判别式D=0.∴2-2+1=0有两个相等的实数根，1=2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式2-2+10中的取值范围是11,即=1；（4）与（3）类似分析，可知不等式2-2+1>0中的取值范围是>1，或<1,即≠1；（5）因为方程2-2+3=0的判别式D<0.所以方程2-2+3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，这时，可以用配成完全平方式的方法.∵2-2+3=2-2+1+2=+2>0，∴不等式2-2+3>0中的取值范围是∈R；（6）与（5）类似分析，可知不等式2-2+30中的取值范围是空集.【例2-2】解下列关

5、于的不等式：解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式.解这类题的关键是：把参数以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做.（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且2的系数含有参数.这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式.综合上述分析，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.    总结：对于这种类型中

6、易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：⑴　将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式或二

7、次不可分因式的积.⑵　把每个因式的最高次项系数化为正数.⑶　将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.⑷　从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回.即规律“奇穿偶不穿”.⑸　根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例3-1】解下列关于的不等式：解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类