第七章 定积分及其应用ppt课件.ppt

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1、第七章定积分1、定积分基本概念及性质2、微积分基本公式3、定积分的换元法和分步积分法4、定积分的近似计算5、广义积分1、了解定积分的定义、性质以及函数f(x)在[a，b]上可积的充分条件。2、掌握积分上限函数的求导方法及其应用。3、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。4、熟练掌握定积分的换元积分法与分步积分法。5、了解广义积分的概念与计算方法。基本要求:第一节定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积xy=f(x)思想方法在区间[a,b]中任取若干分点：把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分

2、成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ小区间长度最大值趋近于零

3、，即0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式的极限就是A，即2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程。思想方法（1）分割：在区间中任取若干分点：（2）近似求和：（3）取极限：（表示所有小区间的长度的最大者）把分成n个小区间：二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：分划任取，作和式近似求和记，如果取极限存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即其中

4、：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即三、函数可积的充分条件定理1若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。四、定积分的几何意义若f(x)≥0，则的几何意义表示由曲线y=f

5、(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。＋－＋yb0ax定积分的性质中值定理规定(1)当a=b时，(2)当a>b时,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即证注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即证性质3(定积分的区间可加性)证因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b]的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑[a，b]的一个特殊分划，使c

6、作为一个分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上的积分和加[c，b]上的积分和，记为令λ→0，上式两端同时取极限，得注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当a

7、路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.若说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束例1.求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得例3.证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得

8、记作定理2.函数,则例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:机动目录上页下页返回结束例6.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停