第8章 曲线和曲面-PPT课件.ppt

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1、第八章曲线和曲面万斌机械设计制造及其自动化教研室提出问题由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。简介工业产品的几何形状：初等解析曲面复杂方式自由变化的曲线曲面模线样板法计算机辅助几何设计CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）8.1曲线曲面基础8.1.1曲线曲面数学描述的发展弗格森双三次曲面片孔斯双三次曲面片样条方法Bezier方法B样条方法有理Bezier非均匀有理B样条方法8.1.2曲线曲面的表示要求1.唯一性2.几何不变性3.易于定界4.统一性5.

2、易于实现光滑连接6.几何直观8.1.3曲线曲面的表示非参数表示参数表示显式表示隐式表示例如：y=mx+b例如：例如：参数表示方法的优点：1．点动成线2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。3．斜率曲线的参数表示形式：4．t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来8.1.4插值和逼近样条采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的

3、形状时，形状完全通过给定的型值点列。曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列逼近:构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近(approximation)。求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征多边形8.1.5连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：参数连续性几何连续性1.参数连续性0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：2阶参数连续性，记作C2连

4、续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。2.几何连续性0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。8.1.6样条描述n次样条参数多项式曲线的矩阵：基矩阵几何约束条件基函数(blengingfunction)，或称混合函数。8.2三次样条给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：8.2.1自然三次样条定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公

5、共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。还需要两个附加条件才能解出方程组特点：1.只适用于型值点分布比较均匀的场合2.不能“局部控制”8.2.2三次Hermite样条定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：推导：Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。三次Hermite样条曲线的方程为：通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：特点分析：1.可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束

6、。2.基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和Kochanek-Bartels样条3.Hermite曲线具有几何不变性8.3Bezier曲线曲面8.3.1Bezier曲线的定义定义：Bernstein基函数具有如下形式：注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。1．一次Bezier曲线(n=1)2．二次Bezier曲线(n=2)3．三次Bezier曲线(n=3)8.3.2Bezier曲线的性质1．端点2．一阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为：3．二阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为：4．对称性5．凸包性6．几何不变

7、性7．变差减少性8．控制顶点变化对曲线形状的影响8.3.3Bezier曲线的生成1．绘图一段Bezier曲线2．Bezier曲线的拼接问题的提出：如何保证连接处具有G1和G2连续性。在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性为实现G1连续，则有：亦即：在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性：8.3.4Bezier曲面1．Bezier曲面定义：BENi,m(u)与BENj,n(v)是Bernstein基函数：1．双线性Bezier曲面(m=n=1)2．双