高一数学教案[苏教版]等差数列的前n项和1.docx

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1、第五等差数列的前n和(一)教学目：掌握等差数列前n和公式及其取思路，会用等差数列的前n和公式解决一些的与前n和有关的；提高学生的推理能力，增学生的用意.教学重点：等差数列前n和公式的推、理解及用.教学点：灵活用等差数列前n公式解决一些的有关.教学程：Ⅰ.复回前面的学，我知道，在等差数列中：（1）an－an－1＝d(n≥1)，d常数.（2）若a，A，b等差数列，a＋b.A＝2（3)若m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均正整数）Ⅱ.授新随着学数列的深入，我常会遇到的.例：如，一个堆放笔的V形架的最下面一放一支笔，往上每一都比

2、它下面一多放一支，最上面一放120支，个V形架上共放着多少支笔?是一堆放笔的V形架，形同前面所接触的堆放管的示意，看到此，大家都会很快捷地找到每一的笔数与数的关系，而且可以用一个式子来表示种关系，利用它便可以求出每一的笔数.那么，个V形架上共放着多少支笔呢？个又如何解决呢？分析，我不看出，是一个等差数求和？首先，我来看一个：1＋2＋3＋⋯＋100＝？于个，著名数学家高斯10曾很快求出它的果，你知道他是怎么算的？高斯的算法是：首与末的和：1＋100＝101，第2与倒数第2的和：2＋99＝101，第3与倒数第3的和：3＋98＝101，⋯⋯第50与倒数

3、第50的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×100＝5050.2个，它也似于才我所遇到的，它可以看成是求等差数列1，2，3，⋯，n,⋯的前100的和.在上面的求解中，我所求的和可用首、末及数n来表示，且任意的第k与倒数第k的和都等于首与末的和，就启我如何去求一般等差数列的前n的和.如果我可出一算式，那么上述便可迎刃而解.等差数列{annn12＋⋯＋an①}的前n和S，即S＝a＋a把的次序反来，Sn又可写成nnn－11①S＝a＋a＋⋯＋a①＋①2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋⋯＋(an＋a1)第1页共6页又∵a2＋an－1＝a

4、3＋an－2＝a4＋an－3＝⋯＝an＋a1①2Sn＝n(a1＋an)即：Sn＝n（a1＋an）2若根据等差数列{an}的通公式，nn111①,把的次S可写：S=a+(a+d)+⋯+[a+(n－1)d]序反来，Sn又可写：Sn=an+(an－d)+⋯+[an－(n－1)d②],把①、②两分相加，得n个2S＝(a1an)(a1an)(a1an)＝n(a＋a)n1n即：Sn＝n（a＋a）.1n2由此可得等差数列{an}的前n和的公式n＝n（a1＋an）S2.也就是，等差数列的前n和等于首末两的和与数乘的一半.用个公式来算1＋2＋3＋⋯＋100＝？我有

5、S100100（1＋100）＝2＝5050.又∵an＝a1+(n－1)d,∴Sn＝n（a1＋an）n[a1＋a1＋（n－1）d）]n（n－1）d2＝2＝na1＋2∴Snn（a＋a）n1n（n－1）＝1n或S＝na＋d22有了此公式，我就不解决最开始我遇到的，下面我看具体如何解决？分析意可知，个V形架上共放着120笔，且自上而下各的笔成等差数列，可{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：自上而下各的笔成等差数列{an1120}，其中n＝120，a＝1，a＝120.：S120＝120（1＋120）＝72602答案：个V形架上共放着7

6、260支笔.下面我再来看一例：等差数列－10，－6，－2，2，⋯前多少的和是54?分析：先根据等差数列所出求出此数列的首，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：中的等差数列{an}，前nn1的S，由意可知：a＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54由等差数列前n求和公式可得：n（n－1）－10n＋2×4＝54解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，⋯前9的和是54.［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16第2页共6页（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1

7、）由于本只了一个等式，不能直接利用条件求出a116，a，d，但由等差数列的性，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是得以解决.（2）要求S11只需知道1111116，从而解.解：（1）∵a2a＋a即可，而a与a的等差中恰好是a15512116＋a＝a＋a＝a＋a＝18∴S16＝16（a1＋a16）＝8×18＝144.2（2）∵a1＋a11＝2a6∴S11＝11（a1＋a11）＝11a6＝11×20＝220.2［例2］有一数2n＋1的等差数列，求它的奇数之和与偶数之和的比.分析一：利用n（n－1）d解.Sn＝na1＋2解法一：数列的首a111＋

8、2d，⋯其和1，共n＋1，公差d，奇数a，aS；偶数a＋d，a＋3d，a＋5d，⋯，其和S2，共n项.111（n＋1）a111＋2（n＋