经济数学第四章微分方程初步.doc

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1、第四章微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.§4.1微分方程的基本概念定义1凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨

2、论常微分方程，以下简称微分方程或方程.例如，方程,,和等都是微分方程.定义2微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶.例如，方程和都是一阶微分方程，方程和都是二阶微分方程，方程是五阶微分方程.定义3如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，和(为任意常数)都是微分方程的解;和(、为任意常数)都是微分方程的解.由此可见，若微分方程有解，则有无穷多个解.定义4微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线，该曲线称为微分方程的积分曲线，而这无穷多个解所对应的一族积分曲

3、线称为微分方程的积分曲线族.定义5如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解，称为微分方程的特解.例如和分别是方程的特解和通解;和分别是方程的特解和通解.一般来说，特解是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这种用来确定特解的条件，称为初始条件.设微分方程中的未知函数为，通常一阶微分方程的初始条件为即其中、都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为，即与其中、和都是给定的值.例如，对于方程，它通解是,由初始条件可确定其通解中的任意常数，从而得到其特解.通

4、常，我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题.例如，求一阶微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作二阶微分方程满足初始条件，的初值问题，记作例1验证函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.解将所给函数的一阶导数代入方程左边，得所以函数是微分方程解.又因这个解中含有一个任意常数，因此函数是微分方程的通解.将初始条件代入通解，有，故.因此所求特解为.例2验证函数(、为任意常数)为二阶微分方程的通解，并求方程满足初始条件，的特解.解由已知得及，将，，代入原方程左边，得+()-

5、()=所以函数是所给微分方程的解.由于它含有两个相互独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是原方程的通解.将初始条件，代入及，得及，解之，得故所求的特解为§4.2可分离变量的微分方程定义1形如（4-1）的微分方程，称为可分离变量的微分方程.方程（4-1）可化为的形式。而此方程中的变量和分别各自处在方程的左右两端，即变量分离.所以，我们称方程（4-1）为可分离变量的微分方程.一般地，求解可分离变量的微分方程的步骤为：第一步，分离变量，得第二步，两边同时积分，得第三步，求出积分。若和的原函数都存在且分别为和，则方程（4-1）

6、的解为=+（为任意常数）.我们把这种求解微分方程的方法称为分离变量法.例1求微分方程解这是一个可分离变量的微分方程.当时，分离变量，得两边积分得或其中是非零任意常数.显然，也是原方程的解，只要允许，那么此解就可以包含在中,因此原方程的通解为（为任意常数）.注：由上例可看出，在积分过程中，原函数出现对数函数时，真数一般可以不加绝对值，任意常数也可写为，这样可使运算方便，也可简化结果.例1求微分方程满足初始条件的特解.解将原方程整理，得当时，两边积分得因此故原方程的通解为将初始条件代入通解，得因此所求特解为另外，易知也是原方程

7、的解.例2求方程的通解.解原方程化为分离变量得两边积分得故所求通解为§4.3一阶微分方程上节我们已会解可分离变量的一阶微分方程(如)，本节我们再介绍两种特殊类型的一阶微分方程及其解法.形如(4-2)的方程，称为一阶线性微分方程.其中，为已知的连续函数.其线性的含义是指它关于未知函数及其导数的幂都是一次的.它的特点是:右边是已知函数，左边的每项中仅含和的一次项.若=0，则方程变为(4-3)方程(4-3)称为一阶线性齐次微分方程.简称线性齐次方程.若≠0，则称方程(4-2)为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常把方

8、程(4-3)称为方程(4-2)所对应的线性齐次方程.下面分别讨论一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程的求解方法.1.一阶线性齐次方程的解法显然，一阶线性齐次方程(4-3)是可分离变量的方程.分离变量，得两边积分，得即(4-4)(4-4)式称为一阶线性齐次方程(4-3)的通解公式.注这里的记号表示的某个确