线段角的计算与证明问题.doc

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1、中考数学重难点专题讲座第10讲阅读理解题专题【例1】2010，朝阳，一模请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，

2、BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．图2图3图1【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了

3、出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。【解析】（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=．连结PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°．在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，∵，即AP′2+PP′2=AP2．

4、∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．∴∠AP′B=135°．∴∠BPC=∠AP′B=135°．…（2）过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．∴∠BPC=135°，正方形边长为．【例2】2010，大兴，一模若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：.我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数的图象与x轴的两

5、个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形.（1）当为等腰直角三角形时，求（2）当为等边三角形时，.（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且,试问如何平移此抛物线，才能使？【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求取何值时△ABC为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第

6、三问则可以直接利用第一问求得的值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。【解析】．⑴解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，　　　　　　则　　　　　　∵抛物线与轴有两个交点，∴，（不要忘记这一步的论证）　　　　　　∴　　　　　　∵　　　　　　又∵，　　　　　　∵，　　　　　　∴　　　　　　∴（看成一个整体）　　　　　　∴　　　　　　∴…　　　　　　⑵当为等边三角形时，　　　　　⑶∵，　　　　　　∴．　　　　　　即，　　　　　　∴　　　　　　因为向左或向右平移时，的度数不变，　　　　　　所有只需要将抛物线向上或向下

7、平移使，然后向左或向右平移任意个单位即可．　　　　　　设向上或向下平移后的抛物线解析式为：，　　　　　　∵平移后，∴，　　　　　　∴．　∴抛物线向下平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使的度数由变为【例3】2010，房山，一模阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形中，、、、分别是、、和边上靠近、、、的等分点，连结、、、，形成四边形．求四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）．小明的做法是：先取，如图2，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；然后取，如