线性代数第三章练习册答案.doc

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1、线性代数第三章综合自测题一、单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分）1.如果向量能由向量组线性表示，则（D）。（A）存在一组不全为零的数，使得（B）对的线性表示惟一（C）向量组线性无关（D）存在一组数，使得2.向量组线性无关的充分条件是（C）（A）均为非零向量；（B）的任意两个向量的分量不成比例；（C）中任意部分向量组线性无关；（D）中有一个部分向量组线性无关。3.若线性相关，且，则（D）。（A）（B）全不为零（C）不全为零（D）上述情况都有可能4.一个阶矩阵A的秩为，则下列说法正确的是（

2、A）（A）矩阵A的行向量组一定线性无关；（B）矩阵A的列向量组一定线性无关；（C）矩阵A的行向量组一定线性相关；（D）矩阵A的列向量组一定线性相关。5.两个维向量组A：，B：，且，于是有（C）（A）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B），；（C）当向量组A能由B线性表出时，两向量组等价；（D）当时，两向量组等价。6.若向量组线性无关，向量组线性相关，则（C）。（A）必能由线性表示（B）必不能由线性表示（C）必能由线性表示（D）必不能由线性表示7.下列命题中正确的是（D）（A）若向量组的秩为，则该向量组的其中的任意个向量均线性无关；（B）若向量组中有+1个向量线性相

3、关，则该向量组的秩一定至多等于；（C）向量组A与向量组B等价的充要条件是；（D）可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。8.已知维向量组（Ⅰ）：和（Ⅱ）：的秩都等于，那么下述命题不正确的是（A）。（A）若，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价（B）若向量组（Ⅰ）是向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价（C）若向量组（Ⅰ）能由向量组（Ⅱ）的部分组表示，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价（D）若，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价9.设，，=，当线性无关时，不等于（D）（A）1；（B）2；（C）3；（D）以上都不对10.设是矩阵，是矩阵，则（B）（A）；（B）；（C）当时，；

4、（D）当时，。二、填空题（本大题共10个空，每个空2分，满分20分）1.已知，，则=，=。2.已知，，，且，则=。3.一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必相等。4.设是3维线性无关的向量组，A为3阶方阵，且，，，则=2，3。5.向量组=（2，3，-1，5），=（6，3，-1，5），=（4，1，-1，7）的秩=3，最大无关组为。6.两个维向量组A：，B：，，，则，，的大小关系是：。7.若向量，可由向量组，，线性表示，则=5。8.已知向量组，，的秩为2，则==3。9．已知向量组线性无关，若向量组，，，线性相关，则1。10.维向量组，而中

5、任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的充要条件。三、计算题（本大题共3个小题，第1，2小题每题5分，第三小题10分，满分20分）1．已知，讨论向量组及向量组的线性相关性。解：令，故，，所以线性相关，而线性无关。2.已知向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，求的值。解：因为故又因为向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，所以故，；则，故。3.利用初等变换法求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组。（10分）（1）（2）解：1.令A=故，且，为最大线性无关组。（2）令A=故且，，是它的列向量组的最大线性无关组。三、证明题（本大题共3个小题，每

6、题10分，满分30分）1.证明：向量组线性无关的充分必要条件是向量组，线性无关。证明：不妨假设，为列向量组，由，知能由线性表示，故（1）且，（*），令，显然，也即可逆。（*）式两边同时右乘，有也即能由线性表示，故（2）由（1），（2）得，也即与有相同的线性相关性，故向量组线性无关的充分必要条件是向量组，线性无关。2.证明：如果维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示，则向量组线性无关。证明：因为维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示，所以，又因为线性无关，所以，故，所以线性无关。3.设，证明向量组与向量组等价。。证明：因为=故而==，因此向量组与向量组等价。