线性代数期中试卷.doc

线性代数期中试卷.doc

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1、Linearalgebraquestions2010/12Papercode:10043CClassTimes:45ClassesCourseTitle:LinearAlgebraClass:ElectiveclassesQ.1Q.2Q.3Q.4Q.5Q.6TotalScores【Note:Writeyouranswersandthequestionnumbersonyouranswersheet!Otherwise,invalid!】Q.1/Scores1.Fillintheblank(2*10=20scores)(1)LetA=(1,–1,0)andB=

2、(1,1,1,1,2),soRank(ATB)=(1).Solution:(2)LetAisa(3×3)matrix,

3、A

4、=−3,so

5、−3A

6、=(81)(3)IfAisan(n×n)matrix,X1andX2arethesolutionstothelinearequationsAX=B,(X1≠X2),so

7、A

8、=(0).(4)LetAbealinearlydependentthevectorsset,A={β1,β2,β3},hereβ1=(1,2,3),β2=(4,t,3),β3=(0,0,1),sot=(8).Solution:(5)Therea

9、rendimensionvectors:α1,α2,α3,if(αi,αj)=i+j,sowehave(α1+α2,α1–α3)=(4).Solution:For(αi,αj)=i+j,sowehave(6)IfX1=(1,0,2)TandX2=(3,4,5)Taretwosolutionstothethreevariablesnon-homogeneouslinearequationsAX=B,sothecorrespondinghomogeneouslinearequationsAX=0hassolution((2,4,3)T).Solution:X1–

10、X2=(1,0,2)T–(3,4,5)T=(2,4,3)TisasolutiontotheequationAX=0.(7)Letβ=(1,–1,0,2)Tandγ=(a,1,–1,1)Tareorthogonalvectors,soa=(–1).Solution:βandγareorthogonalvectors,soβ·γ=0,thatis(8)A,Bare(4×4)matrices,forA=(α,α1,α2,α3)andB=(β,α1,α2,α3),if

11、A

12、=1and

13、B

14、=2,sowecanfindthat

15、A+B

16、=(24).Solution:A

17、+B=(α,α1,α2,α3)+(β,α1,α2,α3)=(α+β,2α1,2α2,2α3),so

18、A+B

19、=det(α+β,2α1,2α2,2α3)=det(α,2α1,2α2,2α3)+det(β,2α1,2α2,2α3)=23det(α,α1,α2,α3)+23det(β,α1,α2,α3)=8+16=24(9)LetAis(3×3)matrices,for

20、A

21、=2,so

22、A*-3A-1

23、=(–1/2).Solution:for

24、A

25、=2,

26、A-1

27、=1/2A*=A-1

28、A

29、

30、A*-3A-1

31、=

32、A-1

33、A

34、-3A-1

35、=

36、A-1(

37、A

38、-3)

39、=

40、

41、(-1)A-1

42、=–1/2(10)Let,

43、A

44、≠0,soA−1=().Solution:A-1=A*/

45、A

46、Q.2/Scores2.MultipleChoice(1*20=20scores)(1)LetA,B,C,andDare(n×n)matrices,Iisan(n×n)identitymatrix,thefollowingstatementiscorrect(D).A.IfA2=0,thatisA=0B.IfA2=A,sowehaveA=0orA=IC.IfAB=AC,andA≠0,soB=CD.IfAB=BA,wehave(A+B)2=A2+2AB

47、+B2(2)Ifthevectorsgroupβ1,β2,andβ3arelinearlyindependent,andβ1,β2,andβ4arelinearlydependent,so(C).(A)β1canbeexpressedasalinearcombinationbythevectorsβ2,β3andβ4.(B)β2can’tbeexpressedasalinearcombinationbythevectorsβ1,β3andβ4.(C)β4canbeexpressedasalinearcombinationbythevectorsβ1,β2an

48、dβ3.(D)β4can’tbeexpresseda

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