线性代数习题(含答案).doc

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1、线性代数习题一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）：1.向量，则2α－3β=__________。2.一个含有零向量的向量组必线性。3.设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=__________。4.设，当t=时，R(A)=2。5.已知A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0的基础解系为。如R（A）=k，则s=__________；当k=__________时方程只有零解。二、单项选择题(每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:1.设有4维向量组a1,…,a6，

2、则（）。AR(a1,…,a6)=4BR(a1,…,a6)=2Ca1,a2,a3,a4必然线性无关Da1,…,a6中至少有2个向量能由其余向量线性表示2.已知则R（A）为A1B2C3D43.设为n维向量组,且秩则()。A该向量组中任意个向量线性无关B该向量组中任意个向量线性相关C该向量组存在唯一极大无关组D该向量组有若干个极大无关组4.若是方程组的基础解系，则是的（）。A解向量B基础解系C通解DA的行向量5.线性方程组有解的充分必要条件是（）ABCD三、计算题（每小题8分，共64分）：1.求向量组的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线

3、性组合。2.设试问当c为何值时，向量组线性相关？c为何值时向量组线性无关？3．设向量组问λ取何值时，（1）β可由线性表示，且表达式唯一？（2）β可由线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由线性表示？4.解方程组5.求非齐次线性方程组的通解，并表示出向量形式。6.设线性方程组为问与各取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。7.已知三阶矩阵B≠0且B的每一个列向量都是方程组的解。①求λ的值；②证明。四、证明题（每小题6分）：1.证明下列n个n维列向量必线性无关：2.设向量组线性无关，证明：向量组线性无关。线性代数阶段测试题（三

4、）参考答案一、填空题:1、2、相关3、n4、-45、，k=n二、单项选择题:1、D2、D3、B4、A5、C三、计算题:1、解：通过初等变换所以这个向量组的极大线性无关组为，=—2，=—2、解：所以当0即c=5时，向量组线性相关，当即c5时，向量组线性无关。3、解：因为所以（1）当λ≠-1且λ≠1时，β可由线性表示，且表达式唯一；（2）当λ=1时，，β可由线性表示，但表达式不唯一；（3）当λ=-1或λ=1时，β不能由线性表示。4、解：经初等变换得所以,方程组有解。而，分别取，得基础解系为＝，＝.故方程组的通解为：＋，其中，为任意常数。5．解：经初等变换得

5、所以,方程组有解。而，分别取得基础解系为＝，＝而方程组的一个特解为,所以方程组通解为=++其中，为任意常数。6.解：将方程组的增广矩阵做初等变换得所以，当即时，方程组无解；当即时，方程组有唯一解；当即时，方程组有无穷解。此时所以,方程组有解。而齐次方程组，得基础解系为非齐次方程组的一个特解为所以，方程组的通解为＝其中为任意常数。7.解：①经初等变换化为，因为B的列向量是方程组的解，所以，秩R=2②因为R=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解。所以B的列向量线性相关。所以｜B｜=0。四、证明题：1、证明：利用

6、反证法假设，，…..，线性相关，则存在，，…，不全为零，使得：++…+=0即++…….+==0故==……==0，这与假设矛盾，所以原命题成立，，，…..，线性无关。2、证明：