第2讲等差数列及其前n项和.doc

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1、第2讲　等差数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．　　基础梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n

2、－m)d＝p.3．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n

3、为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝.两

4、个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注　后两种方

5、法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．双基自测1．(人教B版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．4B．5C．6D．7解析　a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案　C2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)．A．31B．32C．33D．34解析　由已知可得解得∴S8＝8a1＋d＝32.答案　B3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝(　　)

6、．A．1B．9C．10D．55解析　由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案　A4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)．A．13B．35C．49D．63解析　∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝＝49.答案　C5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析　设公差为d.则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案　13　　考向一　等差数列基本量的计算【例1】►(2

7、011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．[审题视点]第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，

8、故k＝7为所求．等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义