第2章数列习题课1常见的数列求和及应用.doc

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1、习题课1　常见的数列求和及应用对点讲练一、分组求和例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2.分析　2的结构特征，2＝x2n＋＋2.分别组成三个数列从而求和．解　当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝.总结　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．►变式训练1　求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其

2、中a≠0)．解　当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当a≠1时，an＝＝(1－an)．∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝＝－.∴Sn＝二、拆项相消例2　求和：＋＋＋…＋，(n≥2)．分析　认真观察，式中每一项均可拆成两项之差，于是可用拆项相消法求和．解　∵＝＝，∴原式＝[＋＋＋…＋]＝＝－.总结　如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用拆项求和法．►变式训练2　求和：1＋＋＋…＋.解　∵an＝＝＝2∴Sn＝2＝.三、奇偶并项例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1

3、)n(2n－1)．分析　通项中含符号数列(－1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和．解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*)．►变式训练3　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解　n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)，Sn＝S2k＝－

4、1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n；当n为奇数时，令n＝2k＋1(k∈N*)．Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.∴Sn＝课堂小结：求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项当数

5、列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法．课时作业一、选择题1．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．n(n＋2)B.n(n＋4)C.n(n＋5)D.n(n＋7)答案　C解析　a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.2．已知数列{an}为等比数列，前三项为a，a＋，a＋，则Tn

6、＝a＋a＋…＋a等于(　　)A．9B．81C．81D.答案　D解析　由2＝a，解得a＝3.∴a1＝3，a2＝2，a3＝，∴{a}是以a＝9为首项，以为公比的等比数列，∴Tn＝＝.3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)的前m项和为2036，则m的值为(　　)A．8B．9C．10D．11答案　C解析　an＝2n－1，Sn＝2n＋1－n－2，代入选项检验，即得m＝10.4．在50和350之间末位数是1的所有整数之和是(　　)A．5880B．5539C．5280D．4872答案　A解析　

7、S＝51＋61＋…＋341＝＝5880.5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于(　　)A．0B．1C．－1D．2答案　B解析　S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S17＋S33＋S50＝1.二、填空题6．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________.答案　5050解析　(1002－992)＋

8、(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋…＋2＋1＝＝5050.7．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．答案　1473解析　100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1683.100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.∴100内能被3整除不能被7整