第1讲函数的图象与性质.docx

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1、第1讲　函数的图象与性质【自主学习】第1讲　函数的图象与性质(本讲对应学生用书第31~34页)自主学习　回归教材1.(必修1P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0

2、x+1

3、，则函数f(x)的单调增区间为　　　　.

4、【答案】[-1，+∞)4.(必修1P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为　　　　.【答案】f(x)=【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=5.(必修1P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是　　　　函数.【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函

5、数.【要点导学】要点导学　各个击破函数的单调性与奇偶性例1　(2014·南通一模)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x-+1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥a-1对一切x>0恒成立，求实数a的取值范围.【分析】(1)由奇函数的性质研究函数的单调区间，只需研究在区间(-∞，0)上的单调性即可，然后根据对称性即可得；(2)先求出在x>0时f(x)的表达式，然后就a进行讨论求解.【解答】(1)由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在(-∞，0)上的单调

6、性即可.对y=f(x)求导，得f'(x)=2+，令f'(x)=0，得x=-a.①当a≤0时，f'(x)>0，故f(x)在区间(-∞，0)上单调递增.②当a>0时，x∈(-∞，-a)，f'(x)>0，所以f(x)在区间(-∞，-a)上单调递增；x∈(-a，0)，f'(x)<0，所以f(x)在区间(-a，0)上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(-∞，0)，(0，+∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(-∞，-a)，(a，+∞)，单调减区间为(-a，0)，(0，a).(2)因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，

7、f(x)=-f(-x)=-=2x+-1.①当a<0时，要使f(x)≥a-1对一切x>0恒成立，即2x+≥a对一切x>0恒成立.而当x=->0时，有-a+4a≥a，所以a≥0，则与a<0矛盾，所以a<0不成立.②当a=0时，f(x)=2x-1>-1=a-1对一切x>0成立，故a=0满足题设要求.③当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a，+∞)上是增函数，所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1，所以a>0时也满足题设要求.综上所述，a的取值范围是[0，+∞).【点评】(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函

8、数在不同的区间上可以有不同的单调性.判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的性质，是简化问题的一种途径.变式　(2015·启东中学)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求实数a，b的值；(2)求证：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.【解答】(1)因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)=0，即=0

9、，解得b=1，从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-，解得a=2，所以f(x)=，所以a=2，b=1.(2)任取x10，所以f(x1)>f(x2)，故f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2-2t>-2t2+k，即对一切t∈R有3t2-2t-k>0恒成立，从而Δ=

10、4+12k<0，解得k<-.所以实数k的取值范围是.函数图象的识别与应用例2　已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1，13)，且函数对称轴方程为x=-.(1)求函数f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=[f