第18章一元二次方程根的判别式和根与系数的关.doc

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1、第18章一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回顾与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无

2、论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进行有关的证明．(3)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是x1和

3、x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋mx＋n=0的根是x1和x2，则x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数；三还要注意–中的符号．②已知方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程

4、：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．方法与技能【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0(2)9x2+6x+1=0(3)16x2+8x=–3(4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1

5、)x+2k2–1＝0(6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)若关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．【例3】(1)已知关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：①(x1–3)(x2–3)②x12+

6、x22+x1x2③+(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。【例6】(1)已知：x1、x2是方程x2–x+a=0的两个实数根，且+=3，求a的值.(2)关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有两个不相等的实数根.①求k的取值范围；②是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.演练与反馈一、慎重抉择(每小题3分，共30分)1．一元二次方程x2–3x–4=0的根的情况是（）A.有两个不

7、等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2．下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x–1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=03．已知关于x的方程(k–1)x2+kx+1=0有实根，则k的取值范围是（）A．k≠2B．k>2C．k<2且k≠1D．k为一切实数4．方程组的解是，那么方程x2+ax+b=0（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个根为2和35．已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）A．－2B

8、．－1C．0D．16．关于x的方程k2x2+(2k–1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=时，方程两根互为相反数B.当k≤时，方程有实数根C.当k=0时，方程的根是x=–1D.当k=±1时