第14讲向量空间向量的内积及正交性.doc

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1、授课时间第周星期第节课次14授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第十四讲向量空间、向量的长度、内积及正交性教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解向量空间的相关概念；掌握向量的内积、长度与夹角的定义；了解内积、长度与夹角的一些性质；掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；熟悉正交矩阵的定义及其正交矩阵的性质.教学重点及难点：重点：标准正交基；Schmidt正交化方法.难点：标准正交基的求法.教学基本内容备注一、向量空间1、定义1设是的一个非空子集，若满足：（1）对任意．

2、（对加法封闭）（2）对任意和任意．（对乘法封闭）则称为一个向量空间．例1、构成维向量空间．例2、是空间．2、向量空间的基与维数定义2设是一向量空间，它的一个最大无关组，称为它的一个基：；其中向量个数称为向量空间的维数，记，称是维向量空间．[注]零子空间的维数是，的维数是3，是的自然基．3、坐标及坐标变换定义3对于向量空间的一组基，任一向量的线性表示系数是唯一确定的，称为在基下的坐标；而是在标准基下的坐标．例3、证明是的一个基，求在此基下的坐标．定义4设是维向量空间，与是的两组基，且：，其中是从基到基的过渡矩阵，上式称基到基的变换公式．定理是维向量

3、空间，从基到基的过渡矩阵为，，关于旧基的坐标为，关于新基的坐标为，则，称为从旧基到新基的坐标变换公式．例4、的一个基：，求自然基到的过渡矩阵，且求在基下的坐标．二、欧氏空间引入：在三维空间中，设，，则：（数量积），．此处，将三维空间中的数量积推广到维向量空间中，称为内积：1、向量的内积：1）定义：设维实向量,,定义与的内积为=．[注]此处定义的内积是标准内积，还有其它不同的内积定义．　　2）性质：,,1)2)（为常数）3)4)；等号当且仅当时成立．[注]以上均是数量积（内积）特有的性质．2、欧氏空间：定义了内积的实向量空间称为欧几里得空间，简称为

4、欧氏空间．3、向量的长度：1）定义：实向量的长度（范数）定义为．i)时,；时,．ii)iii)三角不等式：2）单位向量：若，则称为单位向量．3）单位化：若，则必是单位向量．4、Cauchy-Schwarz不等式：设是欧氏空间，都有5、夹角：1）定义：设实向量,,称为与之间的夹角．2）正交：若,则称与正交（垂直）,记作．　i),时,；　ii)零向量与任意一向量都正交．　iii)勾股定理：若，则三、标准正交基1、标准正交基：设是欧氏空间，是中个非零向量,若它们两两正交,则称之为正交向量组；若还有它们的长度均为，则称之为标准正交向量组；由标准正交向量组

5、作成的一组基称为～.2、定理1：若组:是正交向量组，则组是线性无关的.证明：设，则，从而由有：，再由得到：，故组线性无关.3、Schmidt正交化方法：设线性无关，取：,,………………则两两正交，且组组，.若取：，则是标准正交向量组.例1：将向量组,,标准正交化．分析：先正交化，再单位化.例2：设，，求，使两两正交，并把标准化（即单位化）.四、正交矩阵1、定义：若实矩阵满足,则称为正交矩阵．　　1)是正交矩阵．　　2)是正交矩阵．2、定理2：是正交矩阵的列（行）向量组是标准正交向量组.证明：=所以：，（），（，）从而的列向量组是标准正交向量组.3

6、、性质：1）若是正交阵，则，与也都是正交阵.2）若是同阶正交阵，则也是正交阵.作业：(1)复习P111-116；(2)预习P117-121；(3)P134：1,2（1）,4.教学后记：