第14章平面直角坐标系和实数.doc

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1、第7讲平面直角坐标系与实数赛点突破1．平面直角坐标系为了确定平面上点的位置，我们用互相垂直的有公共原点的两条数轴建立平面直角坐标系。平面上的每一个点，就和一对有序实数对应，这对有序实数称为点的坐标。两条坐标轴将直角坐标平面分成四个象限，坐标轴不属于任何一个象限。2．实数无限不循环小数叫无理数，无理数不能用分数来表示。实数包括有理数和无理数，实数和数轴上的点是一一对应的。直角坐标平面上的点是和一对有序实数一一对应的。范例解密例1．（1997年哈尔滨初中数学竞赛试题）P（a,b）是平面直角坐标系内的点，如果ab>0,那么P

2、的位置在；如果ab=0,那么P的位置在；如果a2+b2=0,那么P的位置在。解当ab>0时，a与b同号，这时P（a,b）的位置在第一象限或第三象限；当ab=0时，a=0,或b=0，这时P（a,b）的位置在坐标轴上；当a2+b2=0时，a=b=0，这时P（a,b）的位置在原点。例2．（1999年第14届江苏省初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，已知点A（0，0），B（0，1），C（0，2），D（1，0），E（2，0），F（1，1），G（1，2），H（2，1），K（2，2），则点A，B，C，D，E，F，G，H，K中以其中四点

3、为顶点的正方形有个，以其中三点为顶点的直角三角形有个。解先将这些点画在直角坐标系中：（1）面积为1的正方形如ABFD有4个；面积为2的正方形有1个：BGHD，面积为4的正方形有1个：ACKE；一共有6个正方形。（2）在一个面积为1的正方形如ABFD中，有4个面积为的直角三角形；在一个面积为4的正方形ACKE中，有4个面积为2直角三角形；在一个面积为2的长方形如ACGD中，有6个面积为1直角三角形（形如ACG的4个，形如DBG的2个）；故一共有4×4+4×1+6×4=44个直角三角形。例3．已知平行四边形的三个顶点在平面

4、直角坐标系中的坐标是A（1，0），B（3，1），C（2，3）。求第四个顶点的坐标。解如果平行四边形第4个顶点是D，且CD‖BA，CD=BA，将线段AB平行移动，当它的端点B移动到C点时，A点就移动到了D点。因为点B移动到C点，沿水平方向移动了-1个单位，沿竖直方向移动了1个单位，故将A点移动到B点，也要沿水平方向移动-1个单位，沿竖直方向移动1个单位，从而D点的坐标为（1-1，0+1）即（0，1）；同样，如果平行四边形第4个顶点是F，且CA‖BF，CA=BF时，可以求得F点的坐标为（2，-1）；如果平行四边形第4个顶点

5、是E，且CE‖AB，CE=AB时，可以求得E点的坐标为（4，3）。例4．（1989年第40届美国高中数学考试）如图一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从原点运动到（1，0），而后它接着按按图所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后，这个粒子所处位置为（）（A）（35，44）（B）（36，45）（C）（37，45）（D）（44，35）（E）（45，36）分析与解我们先观察纵横坐标相等的点（它们是粒子运动时拐弯的地方）：粒子运动到（0，0）时，用时0分钟；粒子运动到（1，1）时

6、，用时1×2=2分钟，将向左运动；粒子运动到（2，2）时，用时2×3=6分钟，将向下运动；粒子运动到（3，3）时，用时3×4=12分钟，将向左运动；粒子运动到（4，4）时，用时4×5=20分钟，将向下运动；…………一般的规律是：粒子运动到（n，n）时，用时n(n+1)×5=20分钟，当n为奇数时，将向左运动；当n为偶数时，将向下运动。粒子运动到（44，44）时，用时44×45=1980分钟，将向下运动。再过9分钟粒子从（44，44）向下运动9个单位，这时粒子所在的坐标是（44，35）。所以，应该选D。例5．①说明边长为

7、1的正方形的对角线的长度为；②证明是无理数；解①如图，四边形ABCD是边长为1的正方形。它的面积是1。三角形ABC的面积是，将4个与三角形ABC一样大的三角形拼成一个正方形ACFE，它的面积是2，所以它的边长为AC=，也就是说正方形ABCD的对角线的长度为。②用反证法．假设不是无理数，则是有理数，设=（p,q是互质的正整数），两边平方后整理得p2=2q2.所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入上式得4m2＝2q2，q2＝2m2，所以q也是偶数，p与q均为偶数和p与q互质矛盾，所以不是有理数，于是是无理数。评注

8、（1）只要p是质数，就一定是无理数，这个结论的证明与p=2时类似，我们将它的证明留给同学们。（2）利用无理数不等于有理数这个性质，我们可以解答许多类似的问题。例6．若a,b,c是三角形的三边，化简：分析解答这个问题的关键是会化简形如一类式子。由算术平方根的定义知，表示一个非负实数，它的平方等于a2，于是这个数就是a（a≥0）或-a