第13章动力学普遍方程习题解.doc

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1、*第13章动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程jxOAq习题13－1图Pdxl/2dj13－1图示均质细杆OA长为l，重力为P，在重力作用下可在铅垂平面内摆动，滑块O质量不计，斜面倾角q，略去各处摩擦，若取x及j为广义坐标，试求对应于x和j的广义力。解：应用几何法，令；则：令；则：jMOA习题13-2图13－2图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R，均质行星齿轮半径为r，质量为m，均质杆OA质量为m1，杆受矩为M的力偶作用而运动，若取j为广义坐标，试求相应的广义力。解：应用几何法，设对应于j的虚位移则：AbByq习题13-3图AbByq（a）

2、mgMgFIAFIBMIA13－3在图示系统中，已知：均质圆柱A的质量为M、半径为R，物块B的质量为m，光滑斜面的倾角为b，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。若以q和y为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：（1）系统运动微分方程；（2）圆柱A的角加速度和物块B的加速度。解：（1）在系统上施加惯性力如图（a）所示。其中：；应用动力学普遍方程，可得系统运动微分方程：整理后有：应用第二类拉格朗日方程：；；；（a）；；（b）（2）求圆柱A的角加速度和物块B的加速度。由式（b）得：代入式（a），有解得：；习题13-4图AqBFxCmgMg1

3、3－4在图示系统中，已知滑块A的质量为M，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F，均质杆AB长2b，质量为m，若选取x和q作为系统的广义坐标，试建立系统运动微分方程。解：应用第二类拉格朗日方程。对应于广义坐标x和q的广义力分别为：；杆AB质心C的速度为：系统的动能为：；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-5图AqBjkb13－5在图示系统中，已知：均质圆轮A的质量为M、半径为r，摆球B的质量为m、摆长为b，弹簧刚度为k，弹簧及刚杆AB质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。若选取j和q作为系统的广义坐标，设j=0时弹簧为原长。试分别用

4、动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：（1）在系统上施加惯性力如图（a）所示。其中惯性力为：；；；应用动力学普遍方程，（a）AqBjkbMgmgMIAFIAFIBeF可得系统运动微分方程（F=krj）：整理后有：应用第二类拉格朗日方程：；；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-6图xkkAqBl13－6图示系统由摆长为l、质量为m的摆锤和两根弹簧刚度为k的弹簧组成，弹簧、滑块A及刚杆AB的质量均不计，水平面光滑。若选取x和q作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：摆锤B的速度为：

5、系统的动能、势能分别为：；；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。13－7在图示系统中，已知：物块A质量为m，均质圆柱B质量为M、半径为r，弹簧刚度为k，自然长度为d，圆柱B相对于物块A作纯滚动，物块A沿光滑水平面运动。若选取x和j作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。习题13-7图ABjkxk解：系统的动能、势能分别为：；；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-8图ykAqBb13－8在图示系统中，已知：摆球B的质量为m、摆长为b，弹簧的刚度系数为k，其他物体质量不计。若选取y(从点

6、A的静平衡位置算起）和q作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：应用第二类拉格朗日方程：；；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-9图OBAbFDvBvOx13－9重力为P1的楔块B放在光滑水平面上，铅直杆重力P2，均质圆盘重力P3，如图所示。在楔块上作用一水平力F。若圆盘在楔块斜面上作纯滚动，斜面与水平面的夹角为b，试求楔块的加速度。解：此系统只有一个自由度，若选取x为广义坐标，应用第二类拉格朗日方程：如图所示圆盘的速度瞬心在点D，且，则：；（）；；习题13-10图bjBAOx13－10在图示系统中

7、，已知：均质杆AB质量为m、长为b，光滑斜面的倾角为b，滚轮A的质量不计。若选取x和j作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。解：杆AB质心的速度为：系统的动能、势能分别为：；；（a）；；（b）式（a）、（b）即为系统运动微分方程。习题13-11图AM1M3M2Bx1x213－11系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物M1，M2，M3的质量分别是m1，m2，m3，且m1m3，滑轮的质量忽略不计，若初瞬时系统静止，试求欲使M1下降，质量m1，m2和m3之间的关系。解：选取广义坐标x1、x2如图所示

8、。；（a）；；（b）由式（b）可得：，将此式代入式（a），得：当x