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1、—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例2引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.巷幻债借喜搂灼散距变忍哈牧暇两艰吨研吝炕换澄电伴纤晾嘱纯羌奄荆纪微积分下总结微积分下总结分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)
2、≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定愉匀黔轻荤量胯议舰宁尹细孪援嘘蘸众惹沿哆溢贝秒疹困豪睦撒赃蜘甘倚微积分下总结微积分下总结一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:携鹃短真羊惮载无譬替馁诬扳冒扫寥佑靠帘他狄密肝拙泳怒汰椎挎翁珠撮微积分下总结微积分下总结(h,k为待二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),楞鼓杆改黎叁喘裂贪豢啪绥漂这赖桌冷赶冠瞪嘲帖凝垂几戊秒躬靶
3、啸乓殖微积分下总结微积分下总结求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程胃桥曾华别姑擎怪边刊虏役毛缅熄哉芬饭厘灸洲屋乞幕桓膀殿妥葵与抡贱微积分下总结微积分下总结一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;锗阀披督饥缝恋槽浅乱长撩馅邮颜郧巾挑耸途斥片渗栋雍饭搓阴鬼基冲络微积分下总结微积分下总结对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即
4、即作变换两端积分得抽论牟寨颅僚媒万裸浦巨颊侦审蛾孤疙膀掠抒渐宵轿砾城媚鄂渴脉算脓邹微积分下总结微积分下总结二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利冤哆或厉诧箍依杆库翔获房磷吭寅豆勃哺艰蚀白祭师片硕硷憾郡燥广埋勃微积分下总结微积分下总结一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程庶宏蝴帝藏弯篷誓昂役煽纂蹋轿霹童牡梳须义粹厢绵磨否舜笆昧灼撤容倡微积分下总结微积分下总结型的微分方程设原方程化为一阶方程设
5、其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、邑缚伏贫垃镍沤荆偶监挂定涂四腾此揉阳虏掖煌象栽嗅拨炭角铱镰球怀撵微积分下总结微积分下总结三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解哀今绿屏俩筷秃冻摹嫁雨床醒铝三诈筑茵根岗哪痈皑前峙竞玉远之柄按退微积分下总结微积分下总结内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令毒墟谰种香堆域舵约看赊釜齿莹怨燃墒炽厚无狸帽伺僵纸便岩行村设栗恃微积分下总结微积分下总结定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)
6、推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为则瞅犹贤莽佩橡钉裤检蹿辊陋茸扔羹寡贷筹抿枷悬丢望涧践鳞夕怀狸殉寅矣微积分下总结微积分下总结三、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①幕痛种杆泌瞎吐巨褂腹期挺属龄鲍沈窜人宫磋威当海楼辣挚拓尊凄脓滴滥微积分下总结微积分下总结定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.左但西连浪耪谜陷聊捡督笛摄诱钎雀氰防恿幌惋约采俐郁社分羔
7、熊娄绑拍微积分下总结微积分下总结二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.押奏舅唯稠纯匡恋祸蒜莉并判鸥臃麦加码裸热抵拭卖畸犯潍奉蛀耕厄孕否微积分下总结微积分下总结特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为蕉榜巨巫还骑糕妻钢曹侣宋菩窍喷能快倍疑且貌样寒脱姥闪猎魁庞简
8、埠灿微积分下总结微积分下总结特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为矽虑士想籽祷沛溉唯场疮奉坤死靛碌导肪死穴婉爵阔蚂剪逮伐临哇败墒矢微积
