小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..doc

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1、模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”：S4S3S2S1DCBA①1243::SSSS=或者1324SSSS⨯=⨯②((1243::AOOCSSSS=++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求

2、人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】根据蝴蝶定理求得3121.5AODS=⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC=？B【解析】⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，((:12:361:3AGGC=++=．(？？？ABCDACOBCD任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。ABC

3、DABCD【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意

4、掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABDBDCAOOCSS∆∆==，∴236OC=⨯=，∴:6:32:1OCOD==．解法二：作AHBD⊥于H，CGBD⊥于G．∵13ABDBCDSS∆∆=，∴13AHCG=，∴13AODDOCSS∆∆=，∴13AOCO=，∴236OC=⨯=，∴:6:32:1OCOD==．【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。EDCBA【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616+++=，那么BCO△和CDO∆的面积都是162

5、8÷=，所以OCF△的面积为844-=；⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COECOFEGFGSS∆∆===，所以::1:2GCEGCFSSEGFG∆∆==，那么11221233GCECEFSS∆∆==⨯=+．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？77BA【解析】在ABE，CDE中有AEBCED∠=∠，所以ABE，CDE的面积比为(AEEB⨯:(CEDE⨯。同理有ADE，BCE的面积比为(:

6、(AEDEBEEC⨯⨯。所以有ABES×CDES=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即6ABES⨯=7ADES⨯，所以有ABE与ADE的面积比为7:6，ABES=7392167⨯=+公顷，ADES=6391867⨯=+公顷。显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例5】(2008年清华附中入学测试题如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为。BDBD【解析】连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到ABC∆的面积为：41122+-=，ACD∆的面积

7、为：3313.52+-=，ABD∆的面积为：42132+-=．所以::2:3.54:7ABCACDBOODSS∆∆===，所以44123471111ABOABDSS∆∆=⨯=⨯=+．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。D【解析】因为:2:5BDCE=，且BD∥CE，所以:2:5DAAC=，525ABCS∆=+，510277DBCS∆=⨯=．【例6】(2007年人大附中考题如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC=，CFFD=，求