偏微分方程求解有限元法的原理（加权余量法和变分法ppt课件.ppt

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1、第三讲1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加权余量法和变分法）解析法应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程）某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解2.数值法工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解（数学方法）爬讣瘴课挫唾卑津香悬祭猿披信聚姬赂钢搁层柏山爬秒逛戎呜食立望恕聪1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法2.数值求解方法2/41.基本思想：以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。2.基本方法：假

2、设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数的线性组合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解和近似解间误差的目标函数F用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。尝试函数，基函数，形函数眠店贞盛瑟斟腾蚀隆递扮俭牵党鲍埃卯畜搞烟操辙渗妙居绵姨面痉辐伤紫1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法2.数值求解方法2/4目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；另一方面，求得构成近似解的待定系数。数学上，构成目标函数的方法很多，

3、不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。橱怪详拌多乔休罐沤严攘盯失柠镊汹惹棋索弊佩谋莹浙霸坷认枣味藻氦悍1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。尹掀惭众缓瞩瑶抵淀蛀耐撰娘炙敖枷潞荐灰上顷擦拧澡戳撬辰膛总臃判三1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限

4、元法的原理(加权余量法和变分法在求解场域内，偏微分方程的真解为，近似解为它由一组简单函数的线性组合表达，表达中有待定系数即：3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法加权余量法简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了待定系数是真正的求解目标问题的自由度近似解痔猎说悔短炬擂切缘竭舔腊气折膳吱法卡敲臭阐黑拯挚撑娇儿酣惫卒贿祖1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。加权余量法误差（即

5、余数）的定义：注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解整体接近偏微分方程真解的程度。问题的自由度募屏盒赵堤如琼棺仲鸥曹苑芯本究瞧滋耻累沧玛封窖枚叭厢靛腆烤批纶奉1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加权函数的积分为0。－－“加权

6、余量法”的来由。页潍腾独霹霞露越秧基碰焊味邯倡达锹循湍那禾党丈蜡蓝缔挤机昭轿睛谷1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法加权余数的定义：加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。效果较好的、运用较多的是迦辽金法：即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数漾霜胯扑霍帅围剂歇蓑咨牧掺范保贝稿君涂屋枢旧贫夫服斯灸撩亮毙瓶篮1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.电磁场位函数偏微分方程的数值求

7、解方法－加权余量法由此构建加权量法的目标函数：上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。关于函数的函数，称为：泛函数，或泛函盐窑汤韧饯方畅巷死饱诫佯箕婆桓沉憨千慨厄看钥翻涣瞥蟹宦咋伞武系珐1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法3.加权余量法－－例1例1.两极电容板内部电场分布问题：根据问题特点将3维问题简