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1、第七节幂函数三年1考高考指数:★1.了解幂函数的概念；2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,的图像，了解它们的变化情况.1.高考主要考查幂函数的概念、图像与性质，单独考查的概率较低.2.常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.3.题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.1.幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即_____，这样的函数称为幂函数.y=xα【即时应用】(1)判断下列函数是否是幂函数.(请在括号内填“是”或“否”)①y=()②y=2·x-1()③y=(x-1)2()④y=()(2)已知点M()在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的
2、表达式为________.【解析】(1)由幂函数的定义可知，①④是幂函数，②③不是幂函数.(2)设f(x)=xα(α∈R),则即答案：(1)①是②否③否④是(2)f(x)=2.幂函数的图像幂函数y=x、y=x2、y=x-1、y=x3的图像如下：y=xy=x2y=x3y=x2y=x-1y21-1-2O1x2-2-1y=x-1【即时应用】(1)判断下列命题是否正确.(请在括号内填“√”或“×”)①幂函数的图像都经过点(1，1)和点(0，0)；()②幂函数的图像不可能在第四象限；()③n=0时，函数y=xn的图像是一条直线；()④幂函数y=xn，当n＞0时是增函数；()⑤幂函数y=xn，当n＜0
3、时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小.()(2)图中所示的曲线为幂函数y=xn在第一象限的图像，则c1、c2、c3、c4的大小关系是________.【解析】(1)①y=的图像不经过(0，0),故错误；②正确，③当x=0，n=0时，xn无意义，故不正确;④当n=2时，函数在(-∞,0)上为减函数，故不正确;⑤正确.(2)由幂函数的图像特点知，当自变量x＞1时，幂指数大的函数值较大，故有c1＞c2＞c4＞c3.答案：(1)①×②√③×④×⑤√(2)c1＞c2＞c4＞c33.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的性质函数性质y=xy=x2y=x3定义域值域奇偶性单调性定点RRR[0
4、,+∞)R[0,+∞)R[0,+∞)奇偶奇非奇非偶奇增增增（1，1）【即时应用】(1)判断下列函数在(-∞,0)上是否是单调递减的函数.(请在括号中填“是”或“否”)①f(x)=x-2();②f(x)=x-1();③f(x)=();④f(x)=x3().(2)设α∈{-1,1,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为_____.【解析】(1)结合各函数的简图可知②在(-∞,0)上单调递减.(2)经验证知1，3符合.答案：(1)①否②是③否④否(2)1，3幂函数概念的应用【方法点睛】1.幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数；(2)底数为自变量x；(3)幂系数必须为1.2.判
5、定及应用幂函数的方法要判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足1中的三个特征.【提醒】区分幂函数与指数函数的关键是自变量的位置在底数上还是在指数上.【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【解题指南】利用幂函数概念中必须满足的三个特征及幂函数的性质，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).【规范解答】(1)∵f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2
6、或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+∞)上的增函数，则(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得m=此时m2-m-1≠0,故m=(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则m=此时m2-m-1≠0,故m=【互动探究】若本例中的函数f(x)为二次函数，则m为何值？【解析】若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.【反思·感悟】幂函数y=xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是幂的底数x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=
7、x+1,y=x2-2x等都不是幂函数.【变式备选】已知m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．【解析】(1)若为正比例函数，则(2)若为反比例函数，则(3)若为二次函数，则(4)若为幂函数，则m2+2m=1，解之得：m=幂函数的图像与应用【方法点睛】幂函数y=xα图像的特征(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1，1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第
