利用导数研究函数的单调性的题型分析.doc

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1、.....利用导数研究函数的单调性题型分析题型一:利用导数求函数的单调区间例:求下列函数的单调区间.(1)y=2x3-3x(2)f(x)=3x2-2lnx.解:(1)由题意得y′=6x2-3.令y′=6x2-3>0,解得x<-或x>,当x∈(-∞,-)时,函数为增函数,当x∈(,+∞)时,函数也为增函数.令y′=6x2-3<0,解得-<x<,当x∈(-,)时,函数为减函数.故函数的递增区间为(-∞,-)和(,+∞),递减区间为(-,).(2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-=2·.令f′(x)>0,即2·>0.且x>0,可解得x>;令f′(x)<0,即2·<0,由x>0得,0<

2、x<,∴f(x)的增区间为(,+∞),减区间为(0,).规律总结:1.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域讨论,定义域为实数集R可以省略不写.2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接,如(1)题中的增区间.变式训练:求下列函数的单调区间:(1)求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间;(2)求函数y=x3-2x2+x的单调区间.【解】(1)此函数的定义域为R,f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).令6(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,所以函数f(x)的单调递减区间

3、是(1,2)..资料........令6(x-1)(x-2)>0,解得x>2或x<1,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞),(-∞,1).(2)此函数的定义域为R.y′=3x2-4x+1,令3x2-4x+1>0,解得x>1或x<.因此y=x3-2x2+x的单调递增区间为(1,+∞),(-∞,).再令3x2-4x+1<0,解得<x<1.因此y=x3-2x2+x的单调递减区间为(,1).例:讨论函数f(x)=(-1<x<1,b≠0)的单调性.【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的?函数是奇函数还是偶函数?(2)若先讨论x∈(0,1)上的单调性,能否判断f′(x)在(0,1)上的正负?b

4、的取值对其有影响吗?解:因f(x)的定义域为(-1,1);函数f(x)是奇函数,∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性.∵f′(x)=当0<x<1时,x2+1>0,(x2-1)2>0,∴∴当b>0时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数;当b<0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,1)上是增函数;又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.规律方法:1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定

5、区间上恒成立.一般步骤为:①求导数f′(x);②判断f′(x)的符号;③给出单调性结论.2.导数的正负决定了函数的增减,当导函数中含有参数时,应注意对参数进行分类讨论.变式训练:求函数y=x+(b≠0)的单调区间.【解】 函数y=x+(b≠0)的定义域为{x

6、x≠0},y′=1-=.①当b<0时,在函数定义域y′>0恒成立,所以函数的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞);.资料........②当b>0时,令y′>0,解得x>或x<-,所以函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞);令y′<0,解得-<x<且x≠0,所以函数的单调递减区间为(-,0)和(0,).题型二:利用函数单调性求

7、参数例:(2013·模拟)函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数).(1)数a的值;(2)设,研究函数g(x)的单调性解:(1)f(x)=ax+xlnx,f′(x)=a+1+lnx,依题意=a=1,所以a=1.(2)因为=,所以g′(x)=.设φ(x)=x-1-lnx,则φ′(x)=1-.当x>1时,φ′(x)=1->0,φ(x)是增函数,对∀x>1,φ(x)>φ(1)=0,即当x>1时,g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上为增函数;当0φ(1)=0,即当0

8、,g′(x)>0,故g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律:1.导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.导数法证明函数f(x)在(a,b)的单调性的步骤:(1)求f′(x);(2)确认f′(x)在(a,b)的符号;(3)作出结论:f′(x)>

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