资源描述：
《数学建模(关于扩散问题的建模).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.....关于金属汞扩散的问题农药的扩散问题引言：我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人体健康造成危害。著名的始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测，周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大，汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的浓度呢？模型的提出：由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由于在土堆里头，在各个方向上受到的
2、力不相同和各种因素的影响，因此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。为此我们引入一个函数u(x,y,z,t)，它表示t时刻在（x,y,z）处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断出这个函数的表达式。模型符号的引入：为了表示汞在想x,y,z.资料........方向上的扩散速度，我们在此引入扩散系数：：x方向上的扩散系数：y方向上的扩散系数：z方向上的扩散系数：由于泥土吸收
3、，化学反应而引起的衰减系数M：扩散源汞的质量模型假设：1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿x，y，z三个方向向四周扩散。2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。3。扩散过程中没有人为因素的影响。模型建立：u(x,y,z,t)是t时刻点(x,y,z)处某物质的浓度。任取一个闭曲面S，它所围的区域是，由于扩散，从t到时刻这段时间，通过S流入的质量为其中,,分别是沿x，y，z方向的扩散系数。由高斯公式：.资料........由于衰减，WQ的质量减少为其中为衰减系数。其中，在t到时刻间由于扩散与衰减的合作用，积存于的汞质
4、量为另一方面，在t到时刻间由于浓度的变化引起的质量增加为。显然有：，也就是：.资料........由于，的任意性得：上述方程就是汞浓度和时间关系的微分方程。设汞的扩散源在点(,，)处，由于扩散过程满足Cauchy问题：其中M为扩散源的质量，经求解，得如下关系：下面我们将利用观测所得的数据，对参数a，b，c，k进行估计，从而得出u(x,y,z,t)的近似表达式。参数估计：已知条件：①扩散源的质量M；②扩散源的位置：()；③时刻的观测取样值()，为.资料........时刻()处物质的浓度，i=1,…,n。假设
5、取样时刻为，作变量替换t，则有t，从而于是可以令观测取样值的取样时刻为=1。于是，()满足其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有为便于求解，下面分别令：.资料........则有如下关系式：由于我们获得的观测取样值()可以转化为相应的观测取样值()，于是利用多元回归分析可以求出a的估计值，从而得到参数a，b，c，k的估计值。最后，将参数a，b，c，k的估计值代入，就得到u(x,y,z,t)的近似表达式。模型分析：1文中所建立的汞扩散模型不仅可以从局部进行分析，还可以从整体上进行分析。2.本模型还可以拓展到其
6、他有关扩散问题的模型求解。.资料........2.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方程和概率统计的数据转换求解方面存在一定的难度。4.该模型由于没有观测数据，以此无法求出其具体表达式.5.在模型建立过程，因没有考虑到土壤因素，人为因素的影响，因此具有一定的局限性。6.该模型的建立，由于没有实际进行数据调查，因此只是从理论上来分析它的可行性能，在实用方面有待进行实践。参考文献：1.《土壤重金属污染评价方法》2.《有关扩散问题的模型求解》3.《数学模型（第三版）》.资料...
