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1、专题二方程(组)和函数的应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系,或从题目的条件出发,通过联想,构造函数模型,利用函数的性质和图象解决问题.方程的思想,就是分析数学问题中的各个变量之间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或运用方程的性质去分析、转化问题,进而解决问题.考点一一次函数与一元一次方程综合应用【示范题1】(2016·桂林中考)如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b
2、=0的解是 ( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-3【思路点拨】所求方程的解,即为函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标,确定出解即可.【自主解答】选D.方程ax+b=0的解,即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标,∵直线y=ax+b过B(-3,0),∴方程ax+b=0的解是x=-3.【特别提醒】此题考查了一次函数与一元一次方程,任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直
3、线y=ax+b,确定它与x轴的交点的横坐标的值.【变式训练】1.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=-3的解为________.【解析】∵一次函数y=kx+b过(2,3),(0,1)点,∴解得:一次函数的解析式为:y=x+1,解方程x+1=-3,得x=-4.答案:x=-42.一次函数y=kx+b(k≠0)中,x与y的部分对应值如表,那么,一元一次方程kx+b=0的解为________.x-2-1012y6420-2【解析】根据表中的数据值知,当y=0时
4、,x=1,即一元一次方程kx+b=0的解是x=1.答案:x=1【知识归纳】一次函数及其图象与一元一次方程有着密切的关系,函数y=ax+b(a≠0,a,b为常数)中,函数的值等于0时,自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解,所对应的坐标是直线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立.考点二一次函数与二元一次方程(组)【示范题2】已知是二元一次方程ax+by+3=0的两个解,则一次函数y=ax+b(a≠0)的解析式为 ( )A.y=-2x-3B.C.y=-9x+3D.【思路点拨】由已知方程的解,可以把
5、这对数值代入方程,得到两个含有未知数a,b的二元一次方程,联立方程组求解,从而可以求出a,b的值,进一步得出解析式即可.【自主解答】选D.∵是二元一次方程ax+by+3=0的两个解,∴解得:∴一次函数y=ax+b(a≠0)的解析式为【特别提醒】此题考查了方程的解的意义和二元一次方程组的解法.解题关键是把方程的解代入原方程,使原方程转化为以系数a和b为未知数的方程,再求解.【变式训练】1.已知函数y=k1x+b1与函数y=k2x+b2的图象如图所示,则方程组的解为 ( )【解析】选C.∵函数y=k1x+b1与函数y=
6、k2x+b2的图象交于点(1,4),∴二元一次方程组的解为2.(2016·来宾中考)已知直线l1:y=-3x+b与直线l2:y=-kx+1在同一坐标系中的图象交于点(1,-2),那么方程组的解是 ( )【解析】选A.∵直线l1:y=-3x+b与直线l2:y=-kx+1在同一坐标系中的图象交于点(1,-2),∴方程组的解为【方法归纳】一般地,每个二元一次方程组,都对应着两个一次函数,于是也就是对应着两条直线,从“数”的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这两函数值是何值;从形的角度考虑,解方程
7、组相当于确定两条直线的交点坐标.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解:(1)二元一次方程组有唯一的解,则直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2,即k1≠k2.(2)二元一次方程组无解,则直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行,即k1=k2,b1≠b2.(3)二元一次方程组有无数多个解,则直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合,即k1=k2,b1=b2.考点三二次函数与一元二次方程的应用【示范题3】抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的图象如图所示,根据图象判断下列方程根的情况.(1)方程ax
8、2+bx+c=0的两根分别为________.(2)方程ax2+bx+c-3=0的两根分别为________.(3)方程ax2+bx+c=2的根的情况是________.(4)方程ax2+bx+c=4的根的情况是________.【思路点拨】直接根据抛物线与坐标轴及各直线的交点即可得出结论.【自主解答】(1)x1=-2.5,x2=0.5.∵由图
