混沌硕士第2章.doc

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1、第二章混沌的基本概念和分析方法§2.1引言随着在众多领域发现了混沌现象的存在，人们对支配混沌现象的背后机理产生了浓厚的兴趣，混沌机理的研究也逐渐兴起，成为一个具有巨大前景的国际前沿课题和学术研究热点。对混沌的研究深刻地揭示了自然界和人类社会普遍存在的复杂性是有序和无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓广了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识，对建立新的自然观和科学观有重要的启示。而对混沌机理的深入研究，有助于人们进一步深刻了解混沌现象，控制混沌和利用混沌为人们服务。§2.2奇异吸引子奇怪吸引子是混沌的特有性质。怎样来刻画奇怪吸引子的特征，是研究混沌的重要方法。吸引子是指在耗散动态系统在经过

2、了足够长时间的瞬间过程以后，在相空间内所趋向的有限区域。一组状态方程的稳态解就是一个简单的吸引子，而奇怪吸引子是指对初始条件敏感的吸引子，它一般具有如下特征：1.在整体上，系统是稳定的，也就是说，经过足够长的瞬间态过程，吸引子外的一切运动都趋向于吸引子所在的有限局域相空间。但在局部上，吸引子内有无穷多个不相交的轨道，其相邻轨道是相互排斥而且按指数分离的。吸引子内部的运动是不稳定的。2.奇怪吸引子的运动轨道具有无穷的伸展、压缩和折叠性，使得奇怪吸引子空间结构非常复杂，且对初始条件极为敏感。3.吸引子不一定填满某一有限区域，往往具有一些空隙，使得奇怪吸引子具有无穷多嵌套的自相似结构。4.奇怪吸引子

3、具有分数维、正的Lyapunov指数、正的测度熵，以及功率谱连续等统计特征，且具有一切混沌的通有性质，如Feigenbaum常数。§2.3通往混沌的三大途径及分叉现象从规则运动通向混沌的途径是多种多样的,目前研究的比较多的主要有三种。§2.3.1倍周期分叉进入混沌规则运动经过周期不断倍分叉过程，最终进入混沌状态。图2-1是LinsayP.S观察到倍周期分叉的非线性振荡电路[4]，由一个简单的RLC振荡电路和一个变容二极管组成。变容二极管的电容是端电压的函数，即,式中为常数。由图2-1可知，其电路状态方程为：(2-1)通过频谱仪测量，当外加信号发生器输出电压较低时，系统有一个确定的共振频率。在逐

4、渐增加输入电压V的过程中，当V达到阀值时，输出电压就出现二分频，四分频，八分频，十六分频……分频。当V达到时，系统最终进入混沌状态。系统经过倍周期分岔进入混沌时，其数量是具有某种规律的。如果把系统每次分岔所对应的参数值分别记为等，那么对于下式(2-2)当时，上式会存在一个极限称之为Feigenbaum常数。它是一个与具体倍周期分岔系统无关的普适常数，是混沌现象深层规律性的一种体现。§2.3.2阵发混沌途径规则运动经过阵发混沌的中间过程进入混沌运动。阵发混沌[4]是指系统从有序转化为混沌状态时，在非平衡非线性状态下，当某些参数的变化达到某一临界阀值时，系统出现不规则行为随机的交替现象，时而有序，

5、时而混沌，在两者之间振荡。当有关参数继续变化时，整个系统会由阵发混沌发展成为混沌。阵发混沌最早出现于Lorenz模型，研究得比较详细的是在非线性一维映射上，如Logistic方程。阵发混沌与倍周期分岔产生的混沌是孪生现象，能观察到倍周期分岔混沌的系统，一般也能观察到阵发混沌现象。§2.3.3准周期分叉产生混沌准周期分叉道路与前面倍周期分又和阵发性道路相比，规律性知道得较少，但近年来已引起了关注．Landau和Hopf曾经猜测湍流的发生是经过无穷次准周期分叉．准周期分叉可以用环面分叉来描述，将不动点、极限环分别看作0环面、1环面，表示为，则上述通往混沌(相应于湍流)的转变可以表示为混沌，且每一次

6、分叉可以看作是一次Hopf分叉，分叉出一个新的不可公约的频率．§2.4混沌的统计方法经过上个世纪70～80年代人们对混沌机理的不断探索和利用计算机对混沌现象进行计算机模拟、仿真，人们对混沌有了进一步的认识，也形成了一些主要的研究方法。§2.4.1相空间重构方法相空间重构方法[5]是由Grutchfield,Farmer,Pachard及Show四人小组提出来的，Takens用数学为之奠定了可靠的理论基础，现在已成为在许多领域中的研究方法之一。其基本思想是系统中的任一分量的演化都是由和它相互作用的其他分量决定，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程之中。利用相空间重构方法，可以在一定条件下

7、保持其几何性质的不变，如吸引子的分数维、Lyapunov指数等等。为了重构一个等价的状态空间，只需考察一个分量，并选择一个适当地延迟时间，将时间序列嵌入到一个较高维的状态空间中。然后，计算系统的维数，Lyapunov指数，判断这些数据背后是否存在吸引子，从而判断是否存在混沌现象。四人工作小组用相空间重构法所做的水龙头实验证明了水龙头的水滴流速存在混沌吸引子。§2.4.2Lyapunov指数和测度熵