《自动控制理论教学课件》第四章 根轨迹法.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法§4-1根轨迹法的基本概念§4-5利用根轨迹法分析系统的暂态响应§4-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则§4-3参数根轨迹§4-4正反馈回路和零度根轨迹§4-1根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性能的影响.W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程式根的图解法─根轨迹法。根轨迹简称根

2、迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在平面上变化的轨迹。一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统的开环增益。以为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。例4-1：标准二阶系统根轨迹图。标准二阶系统开环传递函数为：它有两个极点：，无零点，为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：闭环特征方程：闭环特征根(极点)：讨论一定时，根轨迹增益与特征根之间的关系：当时，，即开环极点；时的根轨迹(闭环特征根随变化的轨迹)如右图所示。显然，和都为正时，系统稳定。当时，和为互

3、不相等的两个负实根，对应于系统过阻尼的情况；当时，两根相等，，对应于系统临界阻尼的情况；当时，两根为共轭复数根，，这时，根轨迹与实轴垂直，并相交于，对应于系统欠阻尼的情况。规定：——表示开环极点；——表示开环零点；箭头表示增大时，闭环极点的变化趋势。二、根轨迹与系统性能稳定性稳态性能动态性能根轨迹与虚轴交点处的值就是临界根轨迹增益。稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化，系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。动态性能

4、由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以确定出满足系统性能的参数范围。三、闭环零极点与开环零极点之间的关系典型的控制系统结构图如右：开环传递函数为：闭环传递函数为：开环增益：——影响系统输入输出的幅值比闭环增益：根轨迹增益：②闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。③闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。结论系统的特征方程：——影响系统的稳态误差①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。§4-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件闭环特征方程：即：幅值条件：相角条件：凡是满足

5、上述幅值条件和相角条件的值，就是系统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在根轨迹上。二、开环传递函数的两种表达式显然有：①零极点形式：首1型②时间常数形式：尾1型根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式：绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：绘制根轨迹的相角条件为：或模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。注意几点！模值方程是根轨迹的必要条件——平面上的某一点是根轨迹上的点，则幅值条件成立；平面上的任一点满足幅值条件，该点却不

6、一定是根轨迹上的点。在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。三、绘制根轨迹的基本规则★[规则1]根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：闭环特征方程可表示为上式同除得：实际系统中，，因此，有条根轨迹的终点将在无穷远处(无限零点；无限零点+有限零点=极点数)。若，则必有条根轨迹的起点在无穷远处(无限极点)。幅值条件可以表示为：上式表明：只有当时，故有条根轨迹分支，趋向无穷远处。[规则2]根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数，它们是连续的，并且对称于实轴。

7、证明：根轨迹是开环系统某一参数从时，闭环特征方程的根在平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数应该等于闭环特征方程的根的数目。一般物理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹对称于实轴。根据对称性，只需做出上半平面的根轨迹，然后，利用对称性就可以画出下半平面的根轨迹。因为系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数连续变化时，根也连续变化，故根轨迹是连续的。[规则3]根轨迹的渐进线当开环有限极点数大于有限零点数时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角

8、为、交点为的一组渐近线趋向无穷远处，且有：证明：式中，当值很大时，由得渐近线方程为：即：二项展开式：根据二项式定理有：代入渐近线方程得：设，则：令可得：解得：式中：[规则4]实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，若其右边开环零、极点的数目之和为奇数，则该区域必定是根轨迹。由图可见，在右边的每个开环零点或极点提