《自动控制理论教学课件》第4章 线性定常系统的线性变换.ppt

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1、第四章线性定常系统的线性变换4.1单输入-单输系统的可控规范型和可观规范型4.2线性定常系统的结构分解4.3最小实现（补充）14.1单输入-单输出系统的可控规范形和可观规范形一可控规范形对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式则称此状态空间描述为可控规范形。2结论：对于完全能控的单输入—单输出系统其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为引入非奇异线性变换阵P-1：3作变换，即可导出可控标准型为：式中：其中：4证明：1）系统完全可控，必有所以向量是线

2、性无关的。取变换矩阵为式中：，有5所以：由于S和Λ都是线性无关的，显然向量也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到6书写成矩阵形式为：所以：72）记变换矩阵P的行向量为pi，因PQ=I，即故：3）对于向量，由计算得8三可观测规范形对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式则称此状态空间描述为可观测规范形。9结论：对于完全可观测的单输入—单输出系统其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为引入非奇异线性变换阵P：10作变换，即可导出可控标准型为：式中：其中

3、：114.2线性定常系统的结构分解从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观测，可控不可观测，不可控可观测，不可控不可观测四类。不同类型的状态变量也对应了不同的四类子系统：可控可观测子系统、可控不可观测子系统、不可控可观测子系统和不可控不可观测子系统，称为系统的分解。对系统进行结构分解是通过引入适当的线性非奇异变换来实现的。12一非奇异线性变换的不变特性系统经过非奇异线性变换后，不会改变系统原有特性(包括系统特征值、传递函数矩阵、可控性、可观性等)，这就是所谓的非奇异线性变换的不变特性。131．非奇异

4、变换后系统可控性不变设变换前、后系统的可控性矩阵分别为S和，则：另因为P为非奇异，所以显然有142．非奇异变换后系统可观测性不变设变换前、后系统的可观测性矩阵分别为V和，则：另因为P为非奇异，所以显然有15二．系统按可控性的结构分解1．可控性结构分解设不可控系统的动态方程为式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系统可控性矩阵的秩为则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：16进行非奇异线性变换：即可得到系统按可控性分解的规范表达式：式中：为r维可控状态子向量

5、，为(n-r)维不可控状态子向量，并且17n×n非奇异变换矩阵P-1的构造方法：1）从可控性判别阵S中任意的选取r个线性无关的列向量，记为。2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-r)个列向量（注：所谓尽可能简单是指这个列向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为1），记为，使它们和线性无关。这样就可以构成n×n非奇异变换矩阵18展开写有：令，则可定义可控子系统动态方程为：不可控子系统动态方程为：191/s+++++1/s图4-1可控性规范分解方框图202．系统结构可控性分解特点1）由于21因而r维系

6、统是可控的，且和系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统时，可以等价地用分析子系统来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。222）输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性。3）由于在选取非奇异变换矩阵时，列向量和的选取不具有唯一性，虽然可控性规范分解的形式不变，但各系数矩阵因P-1的差异而不同，即可控性规范分解结果不唯一。234）系统的特征多项式可分解为：表明不完全可控系统的特征值由两部分组成：一部分为的特

7、征值，称为系统的可控振型；另一部分为的特征值，称为系统的不可控振型。外部输入u的引入只能改变可控振型的位置，而不能改变不可控振型的位置。24例4-2：已知系统（A,b,c），其中试将系统作可控性规范分解。解：1）可控性判别矩阵故系统不完全可控。252）从S中选出两个线性无关的列向量和，附加任意列向量，构成非奇异变换矩阵P-1：则：26即可得到系统按可控性分解的规范表达式为：故可控子系统动态方程为：不可控子系统动态方程为：27例4-3：给定线性定常系统(A,B,C)，其中试对系统作可控性规范分解。解：已知，由

8、于，故只需判断是否为行满秩。系统不完全可控。28从可控性判别阵中取线性无关的向量s1,s2，再任取s3，构成非奇异线性变换矩阵：于是：29可控子系统的动态方程为：不可控子系统的动态方程为：30三．系统按可观测性的结构分解设不可观测系统的动态方程为式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系统可观测性矩阵的秩为则可从V中任意的选取l个线性无关的行向量，记为31。再