复变函数试卷七2010.doc

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1、《复变函数》试卷七一.填空题(20分)1.已知z=1-I,则argz=(-π

2、z

3、=,=2.变换W=Z3将z平面上的区域D变换为W平面上的区域G:,其中D:0

4、z

5、<2内有个零点,f(z)在2≤

6、z

7、<3内有个零点,f(z)在3≤

8、z

9、<+∞内有零点,f(z)在z=1处的旋转角为,伸缩率为。5.幂级数z+z4+z9+…++…的收敛半径为6.设z=x

10、+y,w=,则=,Imz=7.设f(z)在z=0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)=,则=8.叙述解析函数的最大模原理9.在原点解析,而在z=(n=1,2,…)处取值为f()=的函数为二.判断题(20分)1.设a是z平面上一点,a为函数f(z)的可去奇点,则()2.如果函数f(z)在某有界区域D内解析,且在D内有一列零点,则f(z)在D内恒为零()3.如果f(z)==u(x·y)+iv(x·y)中的u(x·y)与v(x·y)在区域D内满足C-R条件,则f(z)在区域D内解析()4.设f(z)在区域内解析,C是D内任一曲线,则f(z)dz=0()

11、5.设函数f(z)在点a(≠∞)处解析,则总存在R>0,在

12、z-a

13、

14、z

15、=24.求积分I=四.(10分)叙述代数学基本定理并利用复变函数论的方法证明

16、五.(10分)试证明在线性变换下,四点的交比不变六.(20分)1.求将上半z平面保形变换成上半w平面的线性变换w=L(z),使合条件L(i)=1+i,L(0)=02.求将对应变成的线性变换试卷七参考答案一、填空题1、2、3、解析函数唯一性4、2,2,0,,5、16、,7、8、设在区域内解析且不恒为常数,则的最大值不可能在内达到9、二、判断题1-5√×××√,6-10√√×××三、计算题1、解:2、解:3、解:,则4、解:令,则令,则四、①在平面上,次多项式至少有一个零点.②证:反证法,设在平面上无零点.由于在平面上是解析的,在平面上也必解析.

17、下面证在平面上有界,由于故存在充分大的正数,使当时,又因在上连续,故可设(正常数)从而,在平面上,于是,在平面上是解析且有界的.由刘维尔定理,必为常数,即必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证五、证:设则因此六、1.解:设所求线性变换为,其中都是实数,由于必,因而.用除分子分母,则变形为其中都是实数,再由第一个条件得即所以解之得故所求得线性变换为,即2.解:所求线性变换为即化简为于是化简后得

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