复变函数与积分变换期末考试试题.docx

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1、复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）的主值是            。（2）已知为解析函数，则=    ，    ，=    。（3）如果的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为                              。（4）设，则Res               。（5）设  则                。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）若，则（    ）（A）。           （B

2、）（为任意整数）。（C）。      （D）（为任意整数）。（2）设曲线为单位圆，取正向，则积分（   ）（A）0．    （B）。    （C）。     （D）。（3）如果级数在点处收敛，则该级数必在（    ）（A）点处绝对收敛。     （B）点处条件收敛。（C）点处收敛。         （D）点处发散。（4）将平面上的曲线映射成平面上的曲线（   ）（A）。   （B） 。   （C）。    （D）。（5）是函数的（    ）（A）本性奇点。   （B）可去奇点。   （C）一级极点

3、。    （D）二级极点三、（10分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（25分）计算下列积分：（1），其中是从到的直线段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。五、（15分）将函数分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。（1）；  （2）；  （3）。六、（5分）已知函数（），求的Fourier变换。七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：八、（5分）如果是区域内的解析函数，那么在内是否一定也是解析函数？为什么？参考答案一、（1）；  （2）1，-3，-3；  

4、（3）1；  （4）；  （5）二、（1）D；  （2）A；  （3）A；  （4）A；  （5）C三、由知， 。由方程知，所以.又，故有，所以。因此.由可得，所以.四、（1）在曲线上，..（2）是在内的二级极点, 是在内的一级极点.                       Res                       Res原式=.（3）原式=.（4）.分别是在上半平面内的两个一级极点.                   Res                   Res原积分= （

5、5）令，则原式==是在内部的2级极点，是在内部的一级极点.原式=五、（1）时，（2）    （3）六、。..七、令。方程两边取Laplace变换，得.即  .解得  .是的二级极点，是的一级极点Res.Res八、因为是内的解析函数，由方程，，                          （1）如果也是内的解析函数，则，  .                       （2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当.所以（为常数）.因此，只有当在内为常数时，才能在内解析，否则不解析.