有限元法发展综述及其特点.doc

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1、...数值分析结课论文有限元的发展历程及其特点论文题目:有限元的发展历程及其特点学院:专业:学号:姓名:.......有限元法发展综述及其特点摘要:1965年“有限元”这个名词第一次出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化,就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体,实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析,得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析,这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。关键词:有限元,积分法,加权余值法,边值,伽辽金(Galerkin)法。引

2、言有限元法是一种高效能、常用的计算方法.有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系.有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前,牛顿和莱布尼茨发明了积分法,证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然,积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的,前者进行无限划分

3、而后者进行有限划分,但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。在牛顿之后约一百年,著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式,后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪,另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。.......在19世纪末及20世纪初,数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年,数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法,该方法被广泛地用于有限元。1943年,数学家库朗德第一次提出了可在定义域分片地使用展开函

4、数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。所以,到这时为止,实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。20世纪50年代,飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组,首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析,经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代,大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作,这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后,美国的R.W.Clough教授及我国的康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”,这样的名词。此后,这样的叫法被大家接受,有限元技术从此正式诞生。1990年10月美

5、国波音公司开始在计算机上对新型客机B-777进行“无纸设计”,仅用了三年半时间,于1994年4月第一架B-777就试飞成功,这是制造技术史上划时代的成就,其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一手段。在有限元分析的发展初期,由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”,以至于许多学术权威都对其学术价值有所鄙视,国际著名刊物JournalofAppliedMechanics许多年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。然而现在,有限元分析已经成为数值计算的主流,不但国际上存在如ANSYS等数种通用有限元分析软件,而且涉及到有限元分析的杂志也有几十种之多。二、有限元法的基本思想和特点有限元

6、方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=RayleighRitz法+分片函数”,即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh.......Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。有限元方法(FEM)的基础是变分原理和加权余

7、量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元选择基函

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