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《用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、...第一章前言众所周知,极限的存在性问题是极限理论的首要问题.一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关,而且与数列所在的数集密切相关.从运算的角度来说,实数集关于极限的运算是封闭的,它反映了实数集的完备性,这是实数的优点.因此,将极限理论建立在实数集之上,极限理论就有了坚实的基础.我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性,也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性,所以这两个关系是等价的.因此,我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师学校数学教育专业最主要的基础
2、课程.在数学分析教材中,实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理,他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性,成为数学理论乃至数学分析坚实的基础.这六个基本定理是相互等价的,也就是说可以相互循环论证.在我们学过的玉琏等主编的数学分析讲义中,实数完备性基本定理是从公理出发,首先运用公理证明了闭区间套定理,然后用前一个定理为条件,证明了后一个定理的结论,它们依次是:确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性,最后再运用柯西收敛准则的充要性
3、证明了公理（作为练习题）.而在本文中把有限覆盖定理作为出发点,利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的容,为后面的证明做铺垫.定义1.2.1设为数轴上的点集,为开区间的集合,（即的每一个元素都是形如的开区间）,若中任何一点都含在中至少一个开区间,则称为的一个开覆盖,或称覆盖.若中开区间的个数是无限（有限）的,则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.定理1.2.1（有限覆盖定理）设为闭区间的一个（无限）开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖...
4、.....第二章有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理2.1用有限覆盖定理证明确界定理本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理,首先给出确界的定义和定理如下:定义2.1.1有非空的数集,如果存在,有下列性质:（1）对任意,有;（2）对任意,总存在某个数,有,则称是数集的上确界,认为:.定义2.1.2非空的数集,如果存在,有下列性质:（1）对任意,有;（2）对任意,总存在某个数,有,则称是数集的下确界,认为:.定理2.1.1（确界定理）任何非空集,若它有上界,则必有上确界（等价地若有下界,必有下确界）.证明设有.任取一点,考虑闭区间,假若无上
5、确界（最小上界）,那么:i)当为的上界时,必有更小的上界,因而有一开领域,其中皆为的上界;ii)当不是的上界时,自然有中的点,于是有开领域,其中每点皆不是的上界.上每点都找出一个领域,它要么属于第一类（每点为上界）,要么属于第二类（每点皆不是上界）,这些领域,组成闭区间.......的一个开覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{…},注意,所在的开区间,应为第一类的,相邻接的开区间有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接.可知所在的开区间也是第一类,这便得出矛盾.从而得证非空集,若它有上界,则必有上确界.同理可证非空集,若它有下界,
6、则必有下确界.2.2用有限覆盖定理证明单调有界定理本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理,首先给出单调有界的定义和定理如下:定义2.2.1若数列的各项满足关系式,则称为递增（递减）数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.定理2.2.1（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.证明不妨设为单调有界数列,若对,都不是的极限,则对有则在仅含有的有限项,令,则是闭区间的一个开覆盖,由有限覆盖定理知:其必存在有限子覆盖,不妨设存在…是它的一个子覆盖,即,而…只含有限个点,从而它们的并也只含有限个点,从而得出也只含有限个点,这与是无限点集矛
7、盾,从而得证任何有界的单调数列一定有极限.2.3用有限覆盖定理证明区间套定理本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理,首先给出区间套的定义和定理如下:定义2.3.1若闭区间列具有下列性质:（1）,n=1,2,3…;（2）.......则称这个闭区间列为闭区间套,或称区间套.定理2.3.1（区间套定理）若是一个区间套,则存在唯一一点,使得,n=1,2,3,…或,n=1,2,3,…证明设为闭区间套,但对,至少,使,从而,使.现因是的一个开覆盖,故中有限个开区间即可完全覆盖,记为,其中（=1,2,…,n;）.令…,则.于是对,都有,由此得出这
8、与为的开覆盖条件矛盾,从而假设不成立,问题得证.2.4用有限覆盖定理证明聚点定理本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理,首先给出聚点的定义和定理如下:定义2.4.1设是直线上的点集,是一个定点（它可属于,也可不属于）.若的
