线性变换的值域与核ppt课件.ppt

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1、§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若尔当标准形介绍§9最小多项式§7不变子空间第七章线性变换§5对角矩阵§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1设是线性空间V的一个线性变换，集合称为线性变换　的值域（imageset），也记作集合称为线性变换　的核（kernel），也记作注意皆为V的子空间.或§7.6线性变换的值域与核事实上，　且对有即对于V的加法与数量乘法封闭.为V的子空间.§7.6线性变换的值域与核首先，又对　有

2、从而即对于V的加法与数量乘法封闭.故为V的子空间.§7.6线性变换的值域与核§7.6线性变换的值域与核定义2线性变换　的值域　　的维数称为的秩；的核的维数称为的零度（nullity）.例1在线性空间中，令则所以D的秩为n－1，D的零度为1.1、（定理10）设　是n维线性空间V的线性变换，是V的一组基，　在这组基下的矩阵是A，则（1）的值域是由基象组生成的子空间，即（2）的秩＝A的秩.二、值域与核的有关性质§7.6线性变换的值域与核即证：（1）设于是§7.6线性变换的值域与核又对有因此，§7.6线性变换的值域与核的秩，又∴秩＝秩等于矩阵A的秩.（2）由（1）

3、，的秩等于基象组由第六章补充题第2题知，　　的秩§7.6线性变换的值域与核2、设　为n维线性空间V的线性变换，则的秩＋　的零度＝n即证：设的零度等于r，在核中取一组基并把它扩充为V的一组基：§7.6线性变换的值域与核生成的.由定理10，　　是由基象组但下证为的一组基，即证它们线性无关.§7.6线性变换的值域与核设则有即可被线性表出.设于是有§7.6线性变换的值域与核由于为V的基.的秩＝n－r.因此，的秩＋的零度＝n.故线性无关，即它为　　的一组基.§7.6线性变换的值域与核虽然　　与　　的维数之和等于n，但是未必等于V.如在例1中,注意§7.6线性变换的值

4、域与核§7.6线性变换的值域与核（1）是满射证：（2）因为若为单射，则3、设　为n维线性空间V的线性变换，则（2）是单射反之，若　任取　若则即故　是单射.从而是单射是满射.证：　是单射4、设为n维线性空间V的线性变换，则是满射.§7.6线性变换的值域与核例2设A是一个n阶方阵，证明：A相似于一个对角矩阵§7.6线性变换的值域与核证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基下的矩阵，即由　知任取　设则§7.6线性变换的值域与核故有　当且仅当因此有又所以有从而　　　　　　是直和.在中取一组基：§7.6线性变换的值域与核在中取一组基：则　就是V的一组基.显然有

5、，用矩阵表示即§7.6线性变换的值域与核所以，A相似于矩阵§7.6线性变换的值域与核