线性二次型最优控制问题课件.ppt

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1、第四章线性二次型最优控制问题李钟慎华侨大学机电及自动化学院2021/8/311线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是现

2、代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。2021/8/312§4.1线性二次型最优控制问题的提法问题4.1.1给定线性时变系统的状态方程和输出方程其中，X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，Y(t)是l维输出变量，A(t)是nn时变矩阵，B(t)是nm时变矩阵。假设1lmn，U(t)不受约束。若Yr(t)表示预期输出变量，它是l维向量，则有e(t)=Yr(t)－Y(t)称为误差向量。现在的问题是，选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标(4.1.2)（4.1.1）2021/8/313为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定对称常数矩阵，Q(t)是

3、ll半正定对称时变矩阵，R(t)是mm正定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。性能指标（4.1.2）的物理意义式（4.1.2）中的第一部分称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf)，以保证终端状态X(tf)具有适当的准确性。式（4.1.2）中的第二部分称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系2021/8/314统响应具有适当的快速性。式（4.1.2）中的第三部分称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。说明：（1）二次型性能指标是一种综

4、合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（4.1.1）、（4.1.2）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。2021/8/315（2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。（3）性能指标由三项组成，若各项出现不同符号，将发生相互抵消的现象。这样，尽管各项

5、单独的数值较大，但J的数值可能很小，性能指标就无法反映各项指标的优劣。为防止出现这种情况，应保证在各种实际运行情况下，无论容许控制如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号。又因是以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符号均取正值。（4）控制时间的起点t0及终点tf，可能是由实际问题决定的客观参数，也可能是由设计者决定的主观参数。对后者而言，设计者必须把希望达到的目标和t0、tf的选择联系起来。2021/8/316性能指标（4.1.2）中加权矩阵S，Q(t)和R(t)（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。例如，提高S阵中某一元素的比重，说明更

6、加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t)阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好的快速响应特性；而提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如何安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要而又十分困难的工作。（2）将S阵取为半正定，以便保证终端代价的非负性，但容许在e(tf)不为零时的终端代价为零，这相当于不考虑与之相应的终端误差。出于同样理由，Q(t)亦取半正定。但R(t)必须取正定，这是因为控制代价实际上可以反映控制过程的能量2021/8/317消耗，而U

7、T(t)R(t)U(t)则反映各瞬间的控制功率，只要U(t)不为零，控制功率当然就不应等于零。（3）由于终端代价只表示终端时刻tf时的性能，因此，S应为常数阵。至于Q(t)及R(t)，可能取为常数阵，也可能取为时变阵。后者是为了适应控制过程的特殊需要。例如，在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击，但控制过程的后