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1、§3.3 导数的应用(二)●函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.●对函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体
2、性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几点： (1)最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较.因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指在闭区间[a，b]上所有函数值 的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. (2)最值与极值的求法的区别在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数f(
3、x)，它的极值可以通过检查导数f′(x)在每一个零点两侧的符号来求得.而f(x)在[a，b]上的最大(小)值，则可以通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大(小)值.(3)当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得. ●利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.●
4、利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值.(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.考点自测1.下列命题中真命题是()A.函数的最大值一定是函数的极大值B.函数的极大值可能会小于这个函数的极小值C.函数在某一闭区间上的极小值就是D.函数在开发区间内不存在最大值和最小值解析：极值是局
5、部问题，而最值是整体问题.答案：B2.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A.－2 B.0 C.2 D.4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2.答案：C3.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是()解析:因为函数f(x)=x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-6x2,令f′(0)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的最小值点,所以函数的最小
6、值为f(3)=3m-.∵不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-≥-9,解得m≥.答案：A4.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝.解析:f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,得x=±2.∴f(3)=-1,f(-3)=17,f(2)=-8,f(-2)=24,则M=24,m=-8,?郙-m=32.答案:32题型突破题型一tixingyi应用导数求已知函数的最值【例1】(2008·浙江高考题改编)已知a为实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最值.解析:∵f(x)
7、=x2(x-a)=x3-ax2,∴f′(x)=3x2-2ax=3x(x).令f′(x)=0,得x1=0或x2=.规律方法：先求函数f(x)的导函数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，再对a进行分类讨论确定f(x)的单调区间，进而求得f(x)在[0，2]上的最大值和最小值.令f′(x)=0,得x=-3或x=-1.令f′(x)>0,得-3-1,且x≠0.随x的变化,f′(x),f(x)的变化情况如下:x-4(-4,-3)-3(-3,-1)-1(-1,-)-f′(
