2013年高三理科数学第一轮复习不等式均值不等式.doc

《2013年高三理科数学第一轮复习不等式均值不等式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2013年高三理科数学第一轮复习不等式（3）均值不等式考纲要求1、利用均值不等式证明其他不等式2、利用均值不等式求最值命题规律常以选择题、填空题的形式出现，难度通常为中低档。由于应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，所以经常与其他内容综合出题。在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等，难度一般不会太高。考点解读考点1利用基本不等式、均值不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．考点2利用基本不等式、均值不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，近几年很少

2、直接考了，但随着选学内容进入高考，这种题型有可能重新进入高考。证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．考点3解决恒成立问题当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．考点突破考点1利用基本不等式、均值不等式求最值典例1(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．解题思路第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(

3、2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解题过程(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．易错点拨解题过程中注意隐含条件的挖掘，特别是“1”和“0”的挖掘和使用变式1(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．点拨(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3　

4、当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2×＝18，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案(1)3　(2)　(3)18变式2已知，若实数满足，则的最小值是.点拨由，得，则，所以，（当且仅当“”时，取等号），故

5、的最小值为7答案7考点2利用基本不等式、均值不等式证明不等式典例1已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.解题思路先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．解题过程　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c；＋≥2＝2b；＋≥2＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.变式1已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.答案∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．考点3解决恒成立问题典例3若对任意x＞0，≤a恒成

6、立，则a的取值范围是________．解题思路先求(x＞0)的最大值，要使得≤a(x＞0)恒成立，只要(x＞0)的最大值小于等于a即可．解题过程若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是变式1已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．点拨由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案10综合突破突破1添项拆项求最值典例1求下列函数的最值（1）；（2）（3）（

7、4）已知0