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1、§8.7周期函数的傅里叶函数18.7.1基本三角函数系简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.2定理1.基本三角级数函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在3上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在48.7.2傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得5(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得6叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由
2、公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数78.7.3收敛定理8定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点.则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.9例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.10111)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x
3、)的情况见右图.12例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在13说明:当时,级数收敛于148.7.4正弦级数和余弦级数周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为15例4.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此16n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5172
4、.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成18例5.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,19注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.20再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,21说明:令x=0可得即22内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于232.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的
5、傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习24处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为,25§8.8任意区间上的傅里叶函数26周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数8.8.1[–,]上函数f(x)的傅氏级数其它27例1.将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),28利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:29[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x
6、)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成…30例2.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,31注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.32再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,33说明:令x=0可得即348.8.区间[l,l]上的傅里叶级数周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式35设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理
7、.36证明:令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,37其中令(在f(x)的连续点处)证毕38说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有39例4.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?40(2)将作偶周期延拓,则有41说明:此式对也成立,由此还可导出据
