同济大学线性代数课件__第五章.ppt

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1、第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性定义1：设n维向量记作称为向量x与y的内积，内积有下列性质：(1)[x,y]=[y,x];(2)[lx,y]=l[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)[x,x]>0,x≠0;[x,x]=0,x=0.柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式：定义2：称为向量x的长度，记作特别地，当时，称x为单位向量。向量长度有下列性质：(1)

2、

3、x

4、

5、>0,x≠0;

6、

7、x

8、

9、=0,x=0;(2)

10、

11、lx

12、

13、=

14、l

15、

16、

17、x

18、

19、;(3)

20、

21、x+y

22、

23、

24、≤

25、

26、x

27、

28、+

29、

30、y

31、

32、;称为向量x与y的夹角。若q=900,则称向量x与y正交，记作x⊥y。x⊥y[x,y]=0设定理1：若向量组中不含零向量，且两两正交，则向量组线性无关。设例1：设在向量空间中，求向量，使得两两正交。解：设解线性方程组则解向量必与都正交，得基础解系取，则两两正交。定义3.设n维向量是向量空间V的一个基，若两两正交，且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基(标准正交基).施密特(Schimidt)正交化过程:使得与等价。求正交向量组设向量组线性无关，a1=b1a2a2⊥=b2a2′qb1=a1

33、b2=a2-a2′令则是正交向量组，并且向量组与向量组等价。基的规范正交化设是向量空间V的一个基，求V的一个规范正交基。首先，利用施密特正交化过程把正交化为正交向量组然后，再把单位化，即则是V的一个规范正交基。例2:设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解：先正交化，令再单位化，令则即为所求。定义4若n阶矩阵A满足则称A为正交矩阵,且令故特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。其中设A是n阶方阵,P为n阶可逆阵此过程的逆推在最后一步要求矩阵P是可逆的。§2方阵的特征值与特征向量定义1:设A是n阶方阵，若数l和

34、非零向量x，则称l是A的一个特征值，x为A的对应于特征值l的特征向量。使得或由而既齐次线性方程组有非零解方程组的解空间称为对应于l的特征子空间.注：（2）一个特征向量只能对应于一个特征值。（1）方阵的对应于同一个特征值的特征向量不唯一。（3）对应于同一个特征值的若干个特征向量的线性组合仍是对应于这个特征值的特征向量。为矩阵A的特征多项式，记作f(l)定义2：设则称设在C中的n个根为即A的n个特征值则解：1、由矩阵A的特征方程，求出特征值.例6：求矩阵的特征值和特征向量.特征值为l=2,12、把每个特征值l代入线性方

35、程组求出基础解系。当l=2时，解线性方程组得基础解系:解线性方程组当时，得基础解系解：例7：求矩阵的特征值和特征向量,特征值为l=-1,2并求可逆矩阵P,使为对角阵.当l=-1时，解线性方程组得基础解系:当l=2时，解线性方程组得基础解系:设则性质：若l是A的特征值,即Ax=lx(x≠0)，则(1)kl是kA的特征值(k是常数)，且kAx=klx(2)lm是Am的特征值(m是正整数)，且Amx=lmx(3)若A可逆，则l-1是A-1的特征值,且A-1x=l-1xl-1

36、A

37、是A*的特征值，且A*x=l-1

38、A

39、x(

40、4)j(x)为x的多项式，则j(l)是j(A)的特征值,且j(A)x=j(l)x(5)矩阵A和AT的特征值相同,特征多项式相同。例3：(1)设l为矩阵A的特征值，求的特征值(2)若3阶阵A有特征值1,-1,2，求。有特征值解:(1)(2)3阶阵A有特征值1,-1,2，故，A可逆。有特征值-1，-3，3例：设求：(1)A的特征值和特征向量。(2)求可逆矩阵P，使得为对角阵。解：(1)得得基础解系当时，解得基础解系当时，解取问题：矩阵P是否唯一？矩阵L是否唯一？依次是与之对应的特征向量。方阵A的属于不同特征值的特征向量

41、线性无关。定理2：设是方阵A的m个特征值，若各不相等，则线性无关。则证明：设常数使得类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边的Vandermonde矩阵当各不相同时是可逆的等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为为特征向量，所以线性无关。§3相似矩阵定义:设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得则称A相似于矩阵B，或称矩阵A与矩阵B相似。运算称为对A作相似变换，可逆矩阵P称为相似变换矩阵。注：矩阵相似关系是一种等价关系（1）反身性：A与A相似。（2）对称性：若A与B相似，则B与A相似。（3）传递性：若A与B

42、相似，B与C相似，则A与C相似定理3:相似矩阵有相同的特征多项式、特征值.（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：（1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE。推论：若矩阵A与对角阵相似，则是A的n个特征值。矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）定理4：n阶矩阵A与对角阵相似（A可对角化）A有n个线性无