各种积分的联系式及其在场论中的应用ppt课件.ppt

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1、一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件第八节各种积分的联系及其在场论中的应用三、Stokes公式与旋度四、Gauss公式与散度五、几种重要的特殊向量场连通区域的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域;否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD平面区域D边界曲线L的正向:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左侧.一、格林公式定理1公式(1)叫做格林公式.2.若D是复连通区域,则公式(1)右端为D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对D来说都是正

2、向.注意:证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且则即同理可证①②①、②两式相加得:2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得格林公式的应用1.简化曲线积分xyoAB例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知xyo(注意格林公式的条件)2.简化二重积分xyo正向闭曲线L所围区域D的面积例如,椭圆所围面积3.计算平面图形的面积在格林公式中取得二、平面上第二型曲

3、线积分与路径无关的条件如果GyxoBA曲线积分与路径无关的等价命题条件等价命题定理2.设G是单连通域,(两条件缺一不可)注意：因此，无旋场是保守场。势函数的求法1.用线积分求例5.验证是有势场，并求其势函数。2.用偏积分求3.用凑全微分法求注意：1.利用曲线积分与路径的无关性，选择一个适当的路径进行积分可大大简化积分计算。2.可利用全微分的一个原函数来计算与路径无关的曲线积分。斯托克斯公式三、Stokes公式与旋度1、斯托克斯公式为便于记忆，可把斯托克斯公式写成Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边

4、界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.则有向曲面Σ的法向量的方向余弦（如图）证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,的正向边界曲线Γ在xoy面上的投影为平面有向曲

5、线C，C所围成的区域是Dxy，所以因此则三式相加,即得斯托克斯公式.情形2曲面与平行坐标轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与坐标轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕斯托克斯公式的又一种形式其中即例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.解则*2、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通

6、域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有3、环量与环流密度4、旋度的定义及其计算公式利用旋度,斯托克斯公式可改写为或设曲面的法向量为曲线的单位切向量为由环量密度的定义和Stokes公式的向量形式,可得利用积分中值定理，可知利用连续性,有或这就是环量密度的计算公式的外法向量,计算解:例3.设设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为即在刚体旋

7、转的线速场中,任一点M处的旋度,除去一个常数因子外,恰好就是刚体旋转的角速度,此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则机动目录上页下页返回结束5、旋度的运算法则例8.8求电场强度的旋度,解(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋度.另解高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性

8、的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.四.高斯(Gauss)公式与散度定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在面所围成,的方向