《向量数乘运算及其几何意义》教学设计.doc

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1、一、教学目标1.知识与技能:通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。二、教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向

2、量共线定理。难点：向量共线定理的探究及其应用。三、课型：新授课四、教法：探究释疑和多媒体辅助教学的方法五、教具：多媒体及课件辅助教学六、教学过程（一）引入1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式。问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）。向量的减法：，则。（共起点，连终点，方向指向被减数）。2.问题情境：一质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过3

3、s的位移所对应的向量可用来表示。这是何种运算的结果？启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系3.【探究1】已知非零向量，作出和，你能说处他们的几何意义吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？生：与方向相同且；生：与方向相反且师：非常好！教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式。（二）新课讲解1.实数与向量的积的定义请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的积？启发学生从以下角度思考：是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕。一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，

4、这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：（1）（2）当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反。由（1）可知，当或时，2.实数与向量的积的运算律【探究2】问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较。问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较。将全班划分为2个小组，组内同学展开讨论，提出方法并自主探究。教师在学生中进行巡视，了解学生的进展情况，并适时加以引导。在整个过程中，同学们都能积极思考问题，参与的热情很高。）师：鼓励学生踊跃回答生：结论：，类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律：设、为任意向量，

5、、为任意实数，则有：结合律：第一分配律：第二分配律：为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作证明，只要求学生会用。小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算。例1：计算(口答)(1)(2)(3)设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点。解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量、及任意实数、,恒有。3、向量共线定理思考：引入向量数乘运算后，你能发现

6、数乘向量与原向量之间的位置关系吗？生：数乘向量与原向量是共线的。【探究3】问题1：如果(),那么，向量与是否共线？问题2:与非零向量共线，那么，？（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论。教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况）生：对于向量()、，如果有一个实数，使得,那么，由数乘向量的定义知：向量与共线。生：若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有,当与同方向时，有;当与反方向时，有，所以始终有一个实数，使。师：如果没有的限制，会有什么结果？（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态。）生：

7、问题1成立。与任意向量都是共线向量。生：问题2不成立。向量共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得评析：1.让学生正确理解定理包含的两层意思。也就是将来我们在选修中学到的充要条件。2.让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只有用非零向量，才能表示与它共线的所有向量。3.通过分组讨论后，集同学们的劳动成果、智慧于一体，彼此之间再进行交流，充分体现了“众人拾柴火焰高”。例2.已知任意两非零向量、，试作,，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共

8、线常用的方法。教学中可以先让学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路，具体过程可由学生完成。CAoBCAoACAoOCAo