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1、第二节一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y′)＝0或y′=f(x,y)，其中F(x,y,y′)是x，y，y′的已知函数，f(x,y)是x，y的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、可分离变量的方程形如=f(x)g(y)(10-2-1)或M1(x)M2(y)dy=N1(x)N2(y)dx(10-2-2)的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f(x)，g(y)及M1(x)，M2(y)，N1(x)及N2(y)均为
2、已知连续函数．方程(10-2-1)的求解步骤如下：先将方程(10-2-1)分离变量得=f(x)dx，g(y)≠0，根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分=,得通解G(y)=F(x)+C，其中G(y)和F(x)分别是和f(x)的一个原函数，C为任意常数．若有实数y0使得g(y0)=0,则y=y0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中．例1求解方程＝．解分离变量得＝dx．两边积分得arcsiny=x+C或y=sin(x+C)．注意对于给定的C，上述解中x∈．此外，y=±1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中．这
3、是由于分离变量时，将作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsiny＝x+C（C为任意常数），另外还有两个特解y＝±1．例2已知某商品的需求量x对价格P的弹性e＝-3P3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解需求量x对价格P的弹性e＝．依题意，得＝-3P3，于是＝-3P2dP，积分得lnx=-P3+C1，即x=Ｃ(C=)．由题设知P＝0时，x=1,从而C=1．因此所求的需求函数为x=．例3根据经验知道，某产品的净利润y与广告支出x之间有如下关系：＝k(N-y），其中k，N都是大于零的常数，且广告支出为零
4、时，净利润为y0，0＜y0＜N，求净利润函数y=y(x)，解分离变量=kdx，两边同时积分得-ln｜N-y｜=kx+C1(C1为任意常数)，因N-y＞0，所以ln｜N-y｜=ln(N-y)，上式经整理得y=N-Ce-kx(C=＞0）．将x=0，y=y0代入上式得C=N-y0，于是所求的利润函数为y=N-(N-y0)e-kx．由题设可知＞0，这表明y(x)是x的单调递增函数；另一方面又有=N，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y=N．因此，参数N的经济意义是净利润的最大值．二、齐次微分方程1．齐次微分方程形如=（10-
5、2-3）的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u=将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令u=(或y=ux)，其中u是新的未知函数．对y=ux两端关于x求导，得=u+x．代入(10-2-3)得u+x=f(u)．分离变量并积分得=，即F(u)=ln
6、x
7、+C(C为任意常数)，其中F(u)是的一个原函数，再将u=代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解F()＝ln
8、x
9、+C．上面的推导要求f(u)-u≠0，如果f(u)-u=0，也就是＝．这时，方程(10-2-3)为＝．这
10、已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y=Cx．例4求微分方程xy=x2+y2满足条件y
11、x=e＝2e的解．解原方程可化为=+，这是一个齐次方程．作代换u=，即y=ux，则＝u+x．代入前一方程得u+x=+u即x=，分离变量并积分得u2=2ln｜x｜+2C(C为任意常数)，将u替换为，便得原方程的通解：y2=2x2ln｜x｜+2Cx2，再将初始条件代入通解得4e2=2e2·lne+2Ce2，求得C=1，于是，所求的特解为y2=2x2(ln｜x｜+1）．例5设甲、乙两种商品的价格分别为P1,P2，且价格P1相对于P2的
12、弹性为=，求价格P1与P2的函数关系．解将所给方程整理为=．这是齐次方程．令u=，即P1＝uP2，则＝u+P2，代入上式得u+P2＝·u．整理得du＝2．两边积分得-ln｜u｜＝2ln｜P2｜＋C1（C1为任意常数）．将u替换为，便得方程的通解(注意到u＞0,P22＞０)＝CP1P2（C＝，C为正数)．2．可化为齐次方程的微分方程形如=（10-2-4）的微分方程，当C1＝C2＝０时，就是一个齐次方程．当C1,C2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1)若a1b2-
13、a2b1≠0,这时方程组有惟一解x=α，y=β．作变量替换则＝＝．于是方程(10-2-4)化为=．这是关于变量u和v的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x和y，即得原方程的通解．(2)若a1b2-a2b1=0，这时令＝＝，即有a1
