计算行列式常用的7种方法.doc

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1、行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式2把某一行（列）尽可能化为零例2计算：3递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4证明：例5证明范德蒙行列式（n³2）4加边法：对行列式Dn添上一适当行和列，构成行列式Dn+1，且Dn+1=Dn例6证明：5拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1,求证：6利用行列式的乘积：为求一个行列式D的值，有时可再乘上一个

2、适当的行列式D；或把D拆分为两个行列式的积.例8（1）（2）设Sk=l1k+l2k+¼+lnk(k=1,2…),求证：7利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1)在n阶行列式D中，任取k行k列(1£k£n),位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S，称为D的一个k阶子式.如：D=则D的一个2阶子式为：S=在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生的k阶子式有个.(2)设S为D的一个k阶子式，划去S所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M

3、称为S的余子式.又设S的各行位于D中的第i1,i2…ik行，S的各列位于D中的第j1,j2…jk列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：则D的一个2阶子式为：S=M=为S的2阶子式M=（-1）（1+3）+（1+3）为S的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1£k£n-1)，则由这k行所对应的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D.例9计算例10块三角行列式的计算设：或则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A1,A2,…,At),则DetA=(detA1

4、)(detA2)…(detAt).例11设分块矩阵，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12计算例13设：,BCT=0.证明：

5、AAT

6、=

7、BBT

8、

9、CCT

10、.