上海交通大学2010-2011学年矩阵理论试卷.doc

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1、上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中表示矩阵的共轭转置.一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设，则()（A）；（B）；（C）；（D）.2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是()（A）次数等于的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B）Hermite矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C）平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算，是实数，是某一取定向量；（D）投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3.线性变换为

2、正交变换的必要而非充分条件的是()（A）保持向量的长度不变；（B）将标准正交基变为标准正交基；（C）保持任意两个向量的夹角不变；（D）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4.设是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是()（A）与对角矩阵相似；（B）的特征值只可能是1或者0；（C）；（D）幂级数.5.设是的两个线性子空间，则与命题“的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是()（A）；（B）；（C）的零元素的分解式唯一；（D）.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间的线性变换与在基下的矩阵分别为.1、的乘积在基下的矩阵为.2、.3、的一个基为.4、若常数使

3、得为幂收敛矩阵，则应该满足的条件是.5、的Jordan标准型为.三、计算题（12分）向量空间中的内积通常定义为选取，构造子空间.1、求的一组基；2、利用已知的和求的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知.1、求矩阵的Jordan标准型和可逆矩阵使得相似于；2、计算矩阵；3、求下列微分方程组的解.五、计算题（10分）设的秩为，的奇异值分解为，，.求矩阵的奇异值分解和它的Moore-Penrose广义逆.六、计算题（18分）设多项式空间中的线性变换为.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵；2、求与相关的四个子空间和；3、求线性变换的值域的基与维数；

4、4、求线性变换的核的基与维数.七、证明题（6分）设.证明是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵，使得.八、证明题（6分）设为阶矩阵，证明：非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于的多项式使得.