数学分析(9-15)知识点总结.ppt

《数学分析(9-15)知识点总结.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、主要内容1、定积分的定义第九章定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：3、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。即

2、说明有原函数的函数不一定可积。6、可积条件必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。充要条件（1）函数f在[a,b]可积当且仅当：使得属于T的所有小区间中，充要条件（2）函数f在[a,b]可积当且仅当：对应于振幅的那些小区间的总长7、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在[a,b]上可积。3、在[a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a

3、,b]可积。8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别（3）利用对称性、周期性及几何意义。——牛-莱公式积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。1、微元法的理论依据第10章2、名称释译3、所求量的特点4、解题步骤平面图形的面积直角坐标参数方程极坐标弧微分弧长旋转体体积旋转体侧面积?5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形——上曲线减下曲线对x积分。Ax=

4、f(y)（图5）x=g(y)——右曲线减左曲线对y积分。一般解题步骤：（1）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积））(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo(5)变力所作的功(6)液体压力(7)引力(8)函数的平均值第11章一、两类反常积分的概念a为任意常数,如果a,b都是瑕点，则定义c为(a,b)内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时

5、，才称左端瑕积分收敛。二、计算方法——求正常积分+求极限；三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则2、比较法则通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和Abel判别法用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。四、绝对收敛与条件收敛定积分：无穷积分：瑕积分：第12章数项级数正项级数交错级数一般项级数收敛级数的基本性质：3.级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。4.收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；5.绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。6.收敛级数与发散级数的和必为发散级数。正项级数

6、审敛法1、比较法（un为有理表达式时）；2、比式法（un含n!时）；3、根式法（un含n次方时）；4、积分法(）；5、拉贝法（）；交错级数审敛法这是Dirichelet判别法的特殊情形。一般项级数审敛法1、Abel判别法，2、Dirichelet判别法。用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.绝对收敛级数的性质条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。第13章等价于下列3条之一：好用！典型例题：II的常用判定法：等价于下列3条之一：典型例题：（1）优级数判别法（2）Abel判别法（3）Diriche

7、let判别法的常用判定法：DD一致收敛函数列的性质：（1）（2）II（3）一致收敛函数项级数的性质(1)(2)D（3）第14章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域说明幂级数存在收敛半径。收敛半径的求法：（1）根式法，（2）比式法，这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。二、幂级数的性质（1）在收敛区间内闭一致收敛，（2）和函数在收敛区间连续，（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求