第五节对坐标曲面积分.ppt

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1、第五节对坐标的曲面积分一、基本概念二、概念的引入三、定义和性质四、计算方法五、两类曲面积分之间的联系重点：坐标积分的计算难点：理解坐标积分及其与面积积分的关系一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧（不封闭）（封闭）曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带(Mobius,A,F,1790--1868,德国)典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.2.求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在条

2、件:组合形式:物理意义:性质:四计算下侧——注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.例.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:解解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.解原式=解(如下图)11.5.5两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.∴原式=原式=解向量形式内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与的方向无关,一个与2

3、.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yOz面及zOx面上的二重积分转化公式.“一投,二代,三定号”作业习题5：1(2)(4),3,4,5.练习题练习题答案